Question

如圖，已知△OAB的頂點(diǎn)A（﹣6，0），B（0，2），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，將△OAB繞點(diǎn)O按順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ODC．

（1）寫出C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求過A，D，C三點(diǎn)的拋物線的解析式，并求此拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）證明AB⊥BE

Answer 1

（1）C（2，0），D（0，6）；

（2）y=-x2﹣2x+6；頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2，8）.

（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OC=OB，OD=OA，由已知條件即可得點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；

（2）由于拋物線過點(diǎn)A（﹣6，0），C（2，0），所以設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+6）（x﹣2）（a≠0），再將D（0，6）代入，求出a的值，得出拋物線的解析式，然后利用配方法求出頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）已知A、B、E三點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用勾股定理計(jì)算得出AB2=40，BE2=40，AE2=80，則AB2+BE2=AE2，根據(jù)勾股定理的逆定理即可證明AB⊥BE.

試題解析：（1）∵將△OAB繞點(diǎn)O按順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ODC，∴△ODC≌△OAB.

∴OC=OB=2，OD=OA=6.∴C（2，0），D（0，6）.

（2）∵拋物線過點(diǎn)A（﹣6，0），C（2，0），

∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+6）（x﹣2）（a≠0），

∵D（0，6）在拋物線上，∴6=﹣12a，解得a=-.

∴拋物線的解析式為y=-（x+6）（x﹣2），即y=-x2﹣2x+6.

∵y=-x2﹣2x+6=-（x+2）2+8，∴頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2，8）.

（3）連接AE，

∵A（﹣6，0），B（0，2），E（﹣2，8），

∴AB2=62+22=40，

BE2=（﹣2﹣0）2+（8﹣2）2=40，

AE2=（﹣2+6）2+（8﹣0）2=80.

∴AB2+BE2=AE2.

∴△ABE是直角三角形.

∴AB⊥BE．

考點(diǎn)：1、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；3、勾股定理的逆定理.