Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DF⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于F，連接CD，給出四個(gè)結(jié)論：①∠ADC=45°；②BD=AE；③AC+CE=AB；④AB﹣BC=2FC；其中正確的結(jié)論有(     )

A．1個(gè)  B．2個(gè)   C．3個(gè)  D．4個(gè)

Answer 1

D【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰直角三角形．

【分析】過(guò)E作EQ⊥AB于Q，作∠ACN=∠BCD，交AD于N，過(guò)D作DH⊥AB于H，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出CE=EQ，DF=DH，根據(jù)勾股定理求出AC=AQ，AF=AH，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定求出BQ=QE，即可求出③；根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠CND=45°，證△ACN≌△BCD，推出CD=CN，即可求出②①；證△DCF≌△DBH，得到CF=BH，AF=AH，即可求出④．

【解答】解：如圖，

過(guò)E作EQ⊥AB于Q，

∵∠ACB=90°，AE平分∠CAB，

∴CE=EQ，

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CBA=∠CAB=45°，

∵EQ⊥AB，

∴∠EQA=∠EQB=90°，

由勾股定理得：AC=AQ，

∴∠QEB=45°=∠CBA，

∴EQ=BQ，

∴AB=AQ+BQ=AC+CE，

∴③正確；

作∠ACN=∠BCD，交AD于N，

∵∠CAD=∠CAB=22.5°=∠BAD，

∴∠ABD=90°﹣22.5°=67.5°，

∴∠DBC=67.5°﹣45°=22.5°=∠CAD，

∴∠DBC=∠CAD，

在△ACN和△BCD中，

，

∴△ACN≌△BCD，

∴CN=CD，AN=BD，

∵∠ACN+∠NCE=90°，

∴∠NCB+∠BCD=90°，

∴∠CND=∠CDA=45°，

∴∠ACN=45°﹣22.5°=22.5°=∠CAN，

∴AN=CN，

∴∠NCE=∠AEC=67.5°，

∴CN=NE，

∴CD=AN=EN=AE，

∵AN=BD，

∴BD=AE，

∴①正確，②正確；

過(guò)D作DH⊥AB于H，

∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，

∠DBA=90°﹣∠DAB=67.5°，

∴∠FCD=∠DBA，

∵AE平分∠CAB，DF⊥AC，DH⊥AB，

∴DF=DH，

在△DCF和△DBH中

，

∴△DCF≌△DBH，

∴BH=CF，

由勾股定理得：AF=AH，

∴====2，

∴AC+AB=2AF，

AC+AB=2AC+2CF，

AB﹣AC=2CF，

∵AC=CB，

∴AB﹣CB=2CF，

∴④正確．

故選D

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．