【題目】在平面直角坐標系中,將一塊等腰直角三角板(△ABC)按如圖所示放置,若AO=2,OC=1,∠ACB=90°.
(1)直接寫出點B的坐標是 ;
(2)如果拋物線l:y=ax2﹣ax﹣2經過點B,試求拋物線l的解析式;
(3)把△ABC繞著點C逆時針旋轉90°后,頂點A的對應點A1是否在拋物線l上?為什么?
(4)在x軸上方,拋物線l上是否存在一點P,使由點A,C,B,P構成的四邊形為中心對稱圖形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)點B的坐標為(3,1);(2)y=x2﹣x﹣2;(3)點A1在拋物線上;理由見解析;(4)存在,點P(﹣2,1).
【解析】
(1)首先過點B作BD⊥x軸,垂足為D,通過證明△BDC≌△COA即可得BD=OC=1,CD=OA=2,從而得知B坐標;
(2)利用待定系數法,將B坐標代入即可求得;
(3)畫出旋轉后的圖形,過點作x軸的垂線,構造全等三角形,求出的坐標代入拋物線解析式即可進行判斷;
(4)由拋物線的解析式先設出P的坐標,再根據中心對稱的性質 與線段中點的公式列出方程求解即可。
(1)如圖1,過點B作BD⊥x軸,垂足為D,
∵∠BCD+∠ACO=90°,∠AC0+∠OAC=90°,
∴∠BCD=∠CAO,
又∵∠BDC=∠COA=90°,CB=AC,
在△BDC和△COA中:
∵∠BDC=∠COA,∠BCD=∠CAO,CB=AC,
∴△BDC≌△COA(AAS),
∴BD=OC=1,CD=OA=2,
∴點B的坐標為(3,1);
(2)∵拋物線y=ax2﹣ax﹣2過點B(3,1),
∴1=9a﹣3a﹣2,
解得:a=,
∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣2;
(3)旋轉后如圖1所示,過點A1作A1M⊥x軸,
∵把△ABC繞著點C逆時針旋轉90°,
∴∠ABC=∠A1BC=90°,
∴A1,B,C共線,
在三角形BDC和三角形A1CM中:
∵∠BDC=∠A1MC=90°,∠BCD=∠A1CM,A1C=BC,
∴△BDC≌△A1CM
∴CM=CD=3﹣1=2,A1M=BD=1,
∴OM=1,
∴點A1(﹣1,﹣1),
把點x=﹣1代入y=x2﹣x﹣2,
y=﹣1,
∴點A1在拋物線上.
(4)設點P(t, t2﹣t﹣2),
點A(0,2),點C(1,0),點B(3,1),
若點P和點C對應,由中心對稱的性質和線段中點公式可得:
,,
無解,
若點P和點A對應,由中心對稱的性質和線段中點公式可得:
,,
無解,
若點P和點B對應,由中心對稱的性質和線段中點公式可得:
,,
解得:t=﹣2,
t2﹣t﹣2=1
所以:存在,點P(﹣2,1).
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,P是邊BC的中點,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分別為D、E
(1)求證:PD=PE;
(2)DE與BC平行嗎?請說明理由;
(3)請?zhí)砑右粋條件,使四邊形ADPE為正方形,并加以證明.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC垂足是D,AN是∠BAC的外角∠CAM的平分線,CE⊥AN,垂足是E,連接DE交AC于F.
(1)求證:四邊形ADCE為矩形;
(2)求證:DF∥AB,DF=;
(3)當△ABC滿足什么條件時,四邊形ADCE為正方形,簡述你的理由.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在等邊△ABC中,點D是邊AC上一點,連接BD,將△BCD繞著點B逆時針旋轉60,得到△BAE,連接ED,則下列結論中:①AE∥BC;②∠DEB=60;③∠ADE=∠BDC,其中正確結論的序號是( )
A.①②B.①③C.②③D.只有①
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【題目】如圖,點D為⊙O上一點,點C在直徑BA的延長線上,且∠CDA=∠CBD.
(1)判斷直線CD和⊙O的位置關系,并說明理由;
(2)過點B作⊙O的切線BE交直線CD于點E,若BE=5,CD=8,求⊙O的半徑.
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【題目】一、閱讀材料:
已知實數m,n滿足(2m2+n2+1)(2m2+n2-1)=80,試求2m2+n2的值.
解:設2m2+n2=t,則原方程變?yōu)椋?/span>t+1)(t-1)=80,整理得t2-1=80,t2=81,所以t=土9,因為2m2+n2>0,所以2m2+n2=9.
二、方法歸納:
上面這種方法稱為“ 法”,把其中某些部分看成一個整體,并用新字母代替(即換元),則能使復雜的問題簡單化.
三、探索實踐:
根據以上閱讀材料內容,解決下列問題,并寫出解答過程.
(1)已知實數x、y,滿足(2x2+2y2+3)(2x2+2y2-3)=27,求x2+y2的值.
(2)已知Rt△ACB的三邊為a、b、c(c為斜邊),其中a、b滿足(a2+b2)(a2+b2-4)=5,求Rt△ACB外接圓的半徑.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+2x+c經過點A(0,3),B(-1,0),請回答下列問題:
(1)求拋物線對應的二次函數的表達式;
(2)拋物線的頂點為D,對稱軸與x軸交于點E,連接BD,求BD的長.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD中,點E是AD邊的中點,BD,CE交于點H,BE、AH交于點G,則下列結論:①∠ABE=∠DCE;②AG⊥BE;③S△BHE=S△CHD;④∠AHB=∠EHD.其中正確的是( 。
A.①③B.①②③④C.①②③D.①③④
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖:△PCD是等腰直角三角形,∠DPC=90°,∠APB=135°
求證:(1)△PAC∽△BPD;
(2)若AC=3,BD=1,求CD的長.
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