Question

3．將平行四邊形紙片ABCD按如圖方式折疊，使點C與點A重合，點D落到D′處，折痕為EF．
（1）求證：△ABE≌△AD′F；
（2）連接CF，判斷四邊形AECF是否為平行四邊形？請證明你的結(jié)論．
（3）若AE=5，求四邊形AECF的周長．

Answer 1

分析 （1）由折疊的性質(zhì)與四邊形ABCD是平行四邊形，易證得∠D′=∠B，AB=AD′，∠1=∠3，繼而證得：△ABE≌△AD′F；
（2）由折疊的性質(zhì)與△ABE≌△AD′F，可證得AF=EC，然后由AD∥BC，證得四邊形AECF是菱形；
（3）由四邊形AECF是菱形，AE=5，根據(jù)菱形的四條邊都相等，即可求得其周長．

解答 （1）證明：由折疊可知：∠D=∠D′，CD=AD′，∠C=∠D′AE．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B=∠D，AB=CD，∠C=∠BAD．
∴∠B=∠D′，AB=AD′，∠D′AE=∠BAD，
即∠1+∠2=∠2+∠3．
∴∠1=∠3．
在△ABE和△AD′F中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠D′=∠B}\\{AB=AD′}\\{∠1=∠3}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AD′F（ASA）．

（2）四邊形AECF是菱形．
證明：由折疊可知：AE=EC，∠4=∠5．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC．
∵△ABE≌△AD′F，
∴AE=AF，
∴AF=EC，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
又∵AF=AE，
∴平行四邊形AECF是菱形．

（3）∵四邊形AECF是菱形，AE=5，
∴四邊形AECF的周長為：4×5=20．

點評 此題考查了折疊的性質(zhì)、平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)．注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系是關(guān)鍵．