Question

3．如圖，在△ABC中，∠BAC=106°，MP，NQ分別垂直平分AB，AC．
（1）當(dāng)AB=AC時，∠1的度數(shù)為32°．
（2）若AB≠AC，請問（1）中的結(jié)論還成立嗎？請通過計算說明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°求出∠ABP+∠ACQ=74°，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)∠PAB=∠ABP，∠QAC=∠ACQ，所以∠PAB+∠QAC=74°，便不難求出∠1的度數(shù)為32°；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°求出∠ABP+∠ACQ=74°，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)∠PAB=∠ABP，∠QAC=∠ACQ，所以∠PAB+∠QAC=74°，便不難求出∠1的度數(shù)為32°．

解答 解：（1）∵∠BAC=106°，
∴∠ABP+∠ACQ=180°-105°=74°，
∵MP、NQ分別垂直平分AB和AC，
∴PB=PA，QC=QA．
∴∠PAB=∠ABP，∠QAC=∠ACQ，
∴∠PAB+∠QAC=∠ABP+∠ACQ=74°，
∴∠1=106°-74°=32°；
故答案為：32°；

（2）成立，
理由：∵∠BAC=106°，
∴∠ABP+∠ACQ=180°-105°=74°，
∵MP、NQ分別垂直平分AB和AC，
∴PB=PA，QC=QA．
∴∠PAB=∠ABP，∠QAC=∠ACQ，
∴∠PAB+∠QAC=∠ABP+∠ACQ=74°，
∴∠1=106°-74°=32°．

點評 此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．