Question

13．如圖，拋物線y=ax²+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)C在x軸正半軸上），△ABC為等腰直角三角形，且面積為4．現(xiàn)將拋物線沿BA方向平移，平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，與x軸的另一交點(diǎn)為E，其頂點(diǎn)為F，對稱軸與x軸的交點(diǎn)為H．現(xiàn)將一足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)Q放在射線AF或射線HF上，一直角邊始終過點(diǎn)E，另一直角邊與y軸相交于點(diǎn)P．若存在這樣的點(diǎn)Q，使以點(diǎn)P，Q，E為頂點(diǎn)的三角形與△POE全等，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（6，2$\sqrt{21}$）或（6，3）或（10，12）或（4+$\sqrt{14}$，6+$\sqrt{14}$）或（4-$\sqrt{14}$，6-$\sqrt{14}$）．

Answer 1

分析 先求出A（0，c），再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得OA=OB=OC=c，由三角形面積公式得$\frac{1}{2}$•c•2c=4，解得c=2，把C（2，0）代入y=ax²+2求出a的值；利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=x+2，設(shè)F（t，t+2），利用拋物線平移的規(guī)律可設(shè)平移后的拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x-t）²+t+2，再把C（2，0）代入解得t=6，則平移后的拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x-6）²+8，所以F（6，8），根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題確定E（10，0），則OE=10，然后分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)Q在射線HF上，如圖1，利用三角形全等的判定方法，當(dāng)EQ=EO=10時(shí)，△EQP≌△EOP，則可根據(jù)勾股定理計(jì)算出QH=2$\sqrt{21}$，于是可得Q點(diǎn)坐標(biāo)為（6，2$\sqrt{21}$）；當(dāng)點(diǎn)Q在射線AF上，設(shè)Q（x，x+2），利用兩點(diǎn)間的距離公式得到（x-10）²+（x+2）²=10²，解方程求出m的值即可得到Q點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：∵拋物線y=ax²+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)A，
∴A（0，c），則OA=c，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴OA=OB=OC=c，
∴$\frac{1}{2}$•c•2c=4，解得c=2，
∴C（2，0），
把C（2，0）代入y=ax²+2得4a+2=0，解得a=-$\frac{1}{2}$；
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+2，
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（0，2）、B（-2，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
則直線AB的解析式為y=x+2，
設(shè)F（t，t+2），
∵拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+2沿BA方向平移，平移后的拋物線過點(diǎn)C時(shí)，頂點(diǎn)為F，
∴平移后的拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x-t）²+t+2，
把C（2，0）代入得-$\frac{1}{2}$（2-t）²+t+2=0，解得t=6，
∴平移后的拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x-6）²+8，
令y=0，-$\frac{1}{2}$（x-6）²+8=0，解得x₁=2，x₂=10，
∴OE=10，
①當(dāng)點(diǎn)Q在射線HF上，
當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，如圖1，
∵∠EQP=90°，EP=EP，
∴當(dāng)EQ=EO=10時(shí)，△EQP≌△EOP，
∵HE=10-6=4，
∴QH=$\sqrt{1{0}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{21}$，
此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（6，2$\sqrt{21}$）；
當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，如圖2，有PQ=OE=10，過P點(diǎn)作PK⊥HF于點(diǎn)K，則有PK=6，
在Rt△PQK中，QK=$\sqrt{P{Q}^{2}-P{K}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵∠PQE=90°，
∴∠PQK+HQE=90°，
∵∠PKQ=∠QHE=90°，
∴△PKQ∽△QHE，
∴$\frac{PK}{QH}$=$\frac{QK}{HE}$，
∴$\frac{6}{QH}$=$\frac{8}{4}$，解得QH=3，
∴Q（6，3）．
②點(diǎn)Q在射線AF上，
當(dāng)PQ=OE=10時(shí)，如圖3，有QE=PO，
∴四邊形POEQ為矩形，
∴Q的橫坐標(biāo)為10，
當(dāng)x=10時(shí)，y=x+2=12，∴Q（10，12）．
當(dāng)QE=OE=10時(shí)，如圖4，
過Q作QM⊥y軸于點(diǎn)M，過E點(diǎn)作x軸的垂線交QM于點(diǎn)N．
設(shè)Q的坐標(biāo)為為（x，x+2），∴MQ=x，QN=10-x，EN=x+2，
在Rt△QEN中，有QE²=QN²+EN²，即10²=（10-x）²+（x+2）²，解得x=4±$\sqrt{14}$，
當(dāng)x=4+$\sqrt{14}$時(shí)，y=x+2=6+$\sqrt{14}$，∴Q（4+$\sqrt{14}$，6+$\sqrt{14}$），
當(dāng)x=4-$\sqrt{14}$時(shí)，y=x+2=6-$\sqrt{14}$，∴Q（4-$\sqrt{14}$，6-$\sqrt{14}$），
綜上所述，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，2$\sqrt{21}$）或（6，3）或（10，12）或（4+$\sqrt{14}$，6+$\sqrt{14}$）或（4-$\sqrt{14}$，6-$\sqrt{14}$），使P，Q，E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△POE全等．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)平移的規(guī)律和三角形全等的判定與性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；記住兩點(diǎn)間的距離公式．