Question

已知半圓O的直徑AB為10，點M是該半圓周上的一個動點，連接AM、BM，并延長BM至點C，使BM=CM．過點C作AB的垂線，交AB或其反向延長線于點D，交AM或其反向延長線于點E，點D為垂足，連接OE．
（1）當CD與AB交于點D，與AM交于點E時（如圖），求證：∠BAM=∠C；
（2）在（1）的情況下，若CD=8，求DE的值；
（3）設AD=t，在點M的運動過程中，是否存在t使得以點E、O、D為頂點的三角形與△ABM相似？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：分類討論

分析：（1）由AB為半圓的直徑，利用直角所對的圓周角為直角，得到AM垂直于BC，再由CD垂直于AB，得到一對直角相等，再由一對對頂角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似得到三角形CEM與三角形ADE相似，由相似三角形的對應角相等可得證；
（2）連接AC，則可判斷AM是線段BC的垂直平分線，在Rt△ACD中，求出AD，從而得出BD，再由Rt△AED與Rt△CDB相似，利用相似三角形的性質即可得出DE的長；
（3）若以點E、O、D為頂點的三角形與△BAP相似，則有∠EOD=∠PAM或∠EOD=∠ABM，然后分別求出AD的長度，即為t的值．

解答：
解：（1）證明：∵AB為半圓的直徑，
∴∠AMB=∠CMA=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CMA=∠CDA，又∠CEM=∠AED，
∴△CME∽△ADE，
∴∠BAM=∠C；

（2）連接AC，如圖1所示，
∵AB是半圓O的直徑，
∴∠AMB=90°，
又∵CM=BM，
∴AM是線段BC的垂直平分線，
∴AC=AB=10，
在Rt△ACD中，AD=

AC2-CD2

=6，
∴BD=4，
又∵Rt△AED∽Rt△CBD，
∴

ED

BD

=

AD

CD

，即

DE

4

=

6

8

，
∴DE=3；

（3）存在，理由如下：
若以點E、O、D為頂點的三角形與△ABM相似，則有∠EOD=∠MAB或∠EOD=∠ABM，
①當∠EOD=∠MAB時，如圖2所示，此時△AOE為等腰三角形，點D為AO的中點，即t=AD=

5

2

；
②當∠EOD=∠ABM時，OE∥BM，如圖3所示，此時OD=5-AD，BD=10-AD，
∵Rt△DOE∽Rt△DBC，
∴

OD

BD

=

OE

BC

，即

5-AD

10-AD

=

1

4

，
∴t=AD=

10

3

．
綜上，在點M的運動過程中，存在t使得以點E、O、D為頂點的三角形與△ABM相似，此時t的值為

5

2

或

10

3

．

點評：此題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了圓周角定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質，本題的難點在第三問，注意分類討論，不要漏解，難度較大．