【題目】已知關(guān)于x的方程kx2+(2k﹣1)x+k﹣1=0(1)只有整數(shù)根,且關(guān)于y的一元二次方程(k﹣1)y2﹣3y+m=0(2)有兩個實數(shù)根y1y2

(1)當(dāng)k為整數(shù)時,確定k的值;

(2)在(1)的條件下,若m>﹣2,用關(guān)于m的代數(shù)式表示y12+y22

【答案】(1)k=0,k=﹣1;(2)當(dāng)m>﹣2時,y12+y22=(y1+y22﹣2y1y2=9+2m.

當(dāng)m≥﹣時,有y12+y22=(y1+y22﹣2y1y2+m

【解析】

1)要分兩種情況討論:

k=0時,(1)方程為一元一次方程,可計算出此時方程的根是否為整數(shù),若是,則k=0符合要求;

②k≠0時,(1)方程為一元二次方程,用因式分解法求出該方程的兩個根,再根據(jù)這個方程只有整數(shù)根的特點,求出k的整數(shù)值,再根據(jù)的判別式將不合題意的k值舍去.

2)將(1)得出的k值代入方程(2)中,首先根據(jù)根的判別式判斷出m的范圍,然后用根與系數(shù)的關(guān)系表示出所求的代數(shù)式的值.

解:(1)當(dāng)k0時,方程(1)化為﹣x10x=﹣1,方程有整數(shù)根

當(dāng)k≠0時,方程(1)可化為(x+1)(kx+k1)=0

解得x1=﹣1,x2 =﹣1+;

∵方程(1)的根是整數(shù),所以k為整數(shù)的倒數(shù).

k是整數(shù)

k=±1

此時△=(2k124kk1)=10

但當(dāng)k1時,(k1y23y+m0不是一元二次方程

k1舍去

k0,k=﹣1;

2)當(dāng)k0時,方程(2)化為﹣y23y+m0

∵方程(2)有兩個實數(shù)根

∴△=9+4m≥0,即m≥﹣,又m>﹣2

∴當(dāng)m>﹣2時,y12+y22=(y1+y222y1y29+2m

當(dāng)k=﹣1時,方程(2)化為﹣2y23y+m0,方程有兩個實數(shù)根

∴△=9+8m≥0,即m≥﹣

m>﹣2,

∴當(dāng)﹣2m<﹣時,方程(2)無實數(shù)根

當(dāng)m≥﹣時,有y12+y22=(y1+y222y1y2+m

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