Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，E是CD邊上的中點(diǎn)，P是BC邊上的一點(diǎn)，且BP＝2CP．

（1）求證：∠AED＝∠BEC；

（2）判斷EB是否平分∠AEC，并說明理由；

（3）如圖2，連接EP并延長交AB的延長線于點(diǎn)F，連接AP，不添加輔助線，△PFB可以由都經(jīng)過P點(diǎn)的兩次變換與△PAE組成一個(gè)等腰三角形，直接寫出兩種方法（指出對稱軸、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和平移距離）．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)得出AD＝BC＝，CD＝AB＝2，∠D＝∠C＝90°，由中點(diǎn)的定義得出DE＝CE＝CD＝1，再由SAS證明△ADE≌△BCE，即可得出結(jié)論；

（2）用銳角三角函數(shù)求出∠AED＝60°，得出∠BEC＝∠AED＝60°，即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出△AEP≌△FBP，即可得出結(jié)論．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝，CD＝AB＝2，∠D＝∠C＝90°，

∵E是CD邊上的中點(diǎn)，∴DE＝CE＝CD＝1，

在△ADE和△BCE中，，

∴△ADE≌△BCE（SAS），

∴∠AED＝∠BEC；

（2）解：EB平分∠AEC，理由如下：

在Rt△ADE中，AD＝，DE＝1，

∴tan∠AED＝，

∴∠AED＝60°，

∴∠BEC＝∠AED＝60°，

∴∠AEB＝180°﹣∠AED﹣∠BEC＝60°＝∠BEC，

∴EB平分∠AEC；

（3）解：∵BP＝2CP，BC＝，

∴CP＝，BP＝，

在Rt△CEP中，tan∠CEP＝，

∴∠CEP＝30°，

∴∠BEP＝30°，

∴∠AEP＝90°，

∵CD∥AB，

∴∠F＝∠CEP＝30°，

在Rt△ABP中，tan∠BAP＝，

∴∠PAB＝30°，

∴∠EAP＝30°＝∠F＝∠PAB，

∵CB⊥AF，

∴AP＝FP，∠FBP＝90°＝∠AEP，

在△AEP和△FBP中，，

∴△AEP≌△FBP（AAS），

∴△PFB能由都經(jīng)過P點(diǎn)的兩次變換與△PAE組成一個(gè)等腰三角形，

變換的方法為：①將△BPF繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°和△EPA重合，再沿PE折疊；

②將△BPF以過點(diǎn)P垂直于BC的直線折疊，再繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°．