Question

2．如圖，已知一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)$y=-\frac{4}{x}$的圖象交于A、B兩點，與x軸、y軸交于點C、D兩點，點B的橫坐標為1，OC=OD，點P
在反比例函數(shù)圖象上且到x軸、y軸距離相等．
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）求△APB的面積．

Answer 1

分析 （1）過點B作BE⊥OD，根據(jù)反比例函數(shù)求得點B的坐標，再根據(jù)△BDE∽△CDO求得點C、D的坐標，最后利用C、D兩點的坐標求得一次函數(shù)解析式；
（2）過點P作y軸的平行線，將△ABP分割成兩部分，根據(jù)解方程組求得交點A的坐標，再結合一次函數(shù)求得PF的長，最后計算△APB的面積．

解答 解：（1）過點B作BE⊥OD，垂足為E，則
由BE∥CO，可得△BDE∽△CDO
∵OC=OD
∴BE=DE
又∵點B的橫坐標為1，且B在反比例函數(shù)$y=-\frac{4}{x}$的圖象上
∴B（1，-4），即BE=1，OE=4
∴OD=4-1=3=OC，
即C（-3，0），D（0，-3）
將C、D的坐標代入一次函數(shù)y=kx+b（k≠0），可得
$\left\{\begin{array}{l}{0=-3k+b}\\{-3=b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$
∴一次函數(shù)的解析式為y=-x-3

（2）過點P作y軸的平行線，交直線AB于點F，則S_△APB=S_△APF+S_△PFB
∵點P在反比例函數(shù)$y=-\frac{4}{x}$的圖象上，且到x軸、y軸距離相等
∴P（-2，2）
在y=-x-3中，當x=-2時，y=-1，即F（-2，-1）
∴PF=2-（-1）=3
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-3}\\{y=-\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=-4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-4}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$
∴A（-4，1）
∴△APF中PF邊上的高為2，△BPF中PF邊上的高為3
∴S_△APB=S_△APF+S_△PFB=$\frac{1}{2}$×3×2+$\frac{1}{2}$×3×3=3+4.5=7.5

點評 本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，需要掌握根據(jù)待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的方法以及相似三角形的運用．解答此類試題時注意：①求一次函數(shù)解析式時需要知道圖象上兩個點的坐標；②當三角形的邊與坐標系不平行或不垂直時，可以運用割補法求三角形的面積．