【題目】如圖,已知拋物線y=ax2﹣2ax+b與x軸交于A、B(3,0)兩點,與y軸交于點C,且OC=3OA,設(shè)拋物線的頂點為D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線對稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(其中點M在點N的右側(cè)),在x軸上是否存在點Q,使△MNQ為等腰直角三角形?若存在,請求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)P(2,3)或(,);(3)存在,且Q1(1,0),Q2(2﹣,0),Q3(2+,0),Q4(﹣,0),Q5(,0).
【解析】
(1)根據(jù)拋物線的解析式,可得到它的對稱軸方程,進而可根據(jù)點B的坐標來確定點A的坐標,已知OC=3OA,即可得到點C的坐標,利用待定系數(shù)法即可求得該拋物線的解析式.
(2)求出點C關(guān)于對稱軸的對稱點,求出兩點間的距離與CD相比較可知,PC不可能與CD相等,因此要分兩種情況討論:
①CD=PD,根據(jù)拋物線的對稱性可知,C點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點滿足P點的要求,坐標易求得;
②PD=PC,可設(shè)出點P的坐標,然后表示出PC、PD的長,根據(jù)它們的等量關(guān)系列式求出點P的坐標.
(3)此題要分三種情況討論:
①點Q是直角頂點,那么點Q必為拋物線對稱軸與x軸的交點,由此求得點Q的坐標;
②M、N在x軸上方,且以N為直角頂點時,可設(shè)出點N的坐標,根據(jù)拋物線的對稱性可知MN正好等于拋物線對稱軸到N點距離的2倍,而△MNQ是等腰直角三角形,則QN=MN,由此可表示出點N的縱坐標,聯(lián)立拋物線的解析式,即可得到關(guān)于N點橫坐標的方程,從而求得點Q的坐標;根據(jù)拋物線的對稱性知:Q關(guān)于拋物線的對稱點也符合題意;
③M、N在x軸下方,且以N為直角頂點時,方法同②.
(1)由y=ax2﹣2ax+b可得拋物線對稱軸為x=1,由B(3,0)可得A(﹣1,0);
∵OC=3OA,
∴C(0,3);
依題意有:,
解得;
∴y=﹣x2+2x+3.
(2)存在.①DC=DP時,由C點(0,3)和x=1可得對稱點為P(2,3);
設(shè)P2(x,y),
∵C(0,3),P(2,3),
∴CP=2,
∵D(1,4),
∴CD=<2,
②由①此時CD⊥PD,
根據(jù)垂線段最短可得,PC不可能與CD相等;
②PC=PD時,∵CP22=(3﹣y)2+x2,DP22=(x﹣1)2+(4﹣y)2
∴(3﹣y)2+x2=(x﹣1)2+(4﹣y)2
將y=﹣x2+2x+3代入可得:,
∴;
∴P2(,).
綜上所述,P(2,3)或(,).
(3)存在,且Q1(1,0),Q2(2﹣,0),Q3(2+,0),Q4(﹣,0),Q5(,0);
①若Q是直角頂點,由對稱性可直接得Q1(1,0);
②若N是直角頂點,且M、N在x軸上方時;
設(shè)Q2(x,0)(x<1),
∴MN=2Q1O2=2(1﹣x),
∵△Q2MN為等腰直角三角形;
∴y=2(1﹣x)即﹣x2+2x+3=2(1﹣x);
∵x<1,
∴Q2(,0);
由對稱性可得Q3(,0);
③若N是直角頂點,且M、N在x軸下方時;
同理設(shè)Q4(x,y),(x<1)
∴Q1Q4=1﹣x,而Q4N=2(Q1Q4),
∵y為負,
∴﹣y=2(1﹣x),
∴﹣(﹣x2+2x+3)=2(1﹣x),
∵x<1,
∴x=﹣,
∴Q4(,0);
由對稱性可得Q5(+2,0).
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【題目】如圖所示,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∠BAD=30°,AD=AE,則∠EDC的度數(shù)為( 。
A.10°B.15°C.20°D.30°
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【題目】王霞和爸爸媽媽到人民公園游玩,回到家后,她利用平面直角坐標系畫出了公園的景區(qū)地圖,如圖所示.可是她忘記了在圖中標出坐標原點O和x軸,y軸.只知道游樂園D的坐標為(1,﹣2)
(1)請畫出x軸,y軸,并標出坐標原點O.
(2)寫出其他各景點的坐標.
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【題目】為落實“垃圾分類”,環(huán)衛(wèi)部門要求垃圾要按A,B,C三類分別裝袋,投放,其中A類指廢電池,過期藥品等有毒垃圾,B類指剩余食品等廚余垃圾,C類指塑料,廢紙等可回收垃圾.甲投放了一袋垃圾,乙投放了兩袋垃圾,這兩袋垃圾不同類.
(1)直接寫出甲投放的垃圾恰好是A類的概率;
(2)求乙投放的垃圾恰有一袋與甲投放的垃圾是同類的概率.
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【題目】如圖,點P為定角∠AOB的平分線上的一個定點,且∠MPN與∠AOB互補,若∠MPN在繞點P旋轉(zhuǎn)的過程中,其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點,則以下結(jié)論:(1)PM=PN恒成立;(2)OM+ON的值不變;(3)四邊形PMON的面積不變;(4)MN的長不變,其中正確的個數(shù)為( 。
A. 4B. 3C. 2D. 1
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【題目】閱讀下列材料,然后回答問題。
在進行二次根式的化簡與運算時,我們有時會碰上如,,一樣的式子,其實我們還可以將其進一步化簡:
(一) ==
(二) =
(三) = = 以上這種化簡的步驟叫做分母有理化。
還可以用以下方法化簡:
(四) =
請用不同的方法化簡。
(1)參照(三)式得=_____________________________________;
參照(四)式得=_____________________________________。
(2)化簡:
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【題目】如圖,點B在線段AC上,點E在線段BD上,∠ABD=∠DBC,AB=DB,EB=CB,M,N分別是AE,CD的中點。試探索BM和BN的關(guān)系,并證明你的結(jié)論。
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【題目】如圖,點O為平面直角坐標系的原點,點A在x軸上,△AOC是邊長為2的等邊三角形.
(1)寫出△AOC的頂點C的坐標:_____.
(2)將△AOC沿x軸向右平移得到△OBD,則平移的距離是_____
(3)將△AOC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△OBD,則旋轉(zhuǎn)角可以是_____度
(4)連接AD,交OC于點E,求∠AEO的度數(shù).
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【題目】生活中,有人喜歡把傳送的便條折成“”形狀,折疊過程按圖①、②、③、④的順序進行(其中陰影部分表示紙條的反面):如果由信紙折成的長方形紙條(圖①)長為厘米,分別回答下列問題:
如果長方形紙條的寬為厘米,并且開始折疊時起點與點的距離為厘米,那么在圖②中,________厘米;在圖④中,________厘米.
如果長方形紙條的寬為厘米,現(xiàn)不但要折成圖④的形狀,而且為了美觀,希望紙條兩端超出點的長度相等,即最終圖形是軸對稱圖形,試求在開始折疊時起點與點的距離(結(jié)果用表示).
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