Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B，在x軸上有一動點E（m，0）（0＜m＜4），過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P，過點P作PM⊥AB于點M．

（1）求a的值和直線AB的函數(shù)表達式；
（2）設(shè)△PMN的周長為C1 ， △AEN的周長為C2 ， 若 = ，求m的值；
（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接E′A、E′B，求E′A+ E′B的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0，則ax2+（a+3）x+3=0，

∴（x+1）（ax+3）=0，

∴x=﹣1或﹣ ，

∵拋物線y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）與x軸交于點A（4，0），

∴﹣ =4，

∴a=﹣ ．

∵A（4，0），B（0，3），

設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，則 ，

解得 ，

∴直線AB解析式為y=﹣ x+3

（2）

解：如圖1中，

∵PM⊥AB，PE⊥OA，

∴∠PMN=∠AEN，∵∠PNM=∠ANE，

∴△PNM∽△ANE，

∴ = ，

∵NE∥OB，

∴ = ，

∴AN= （4﹣m），

∵拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+3，

∴PN=﹣ m2+ m+3﹣（﹣ m+3）=﹣ m2+3m，

∴ = ，

解得m=2．

（3）

解：如圖2中，在y軸上 取一點M使得OM= ，

∵OE′=2，OMOB= ×3=4，

∴OE′2=OMOB，

∴ = ，∵∠BOE′=∠MOE′，

∴△MOE′∽△E′OB，

∴ = = ，

∴ME′= BE′，

∴AE′+ BE′=AE′+E′M=AM′，

此時AE′+ BE′最小，最小值=AM= =

【解析】（1）令y=0，求出拋物線與x軸交點，列出方程即可求出a，根據(jù)待定系數(shù)法可以確定直線AB解析式．（2）由△PNM∽△ANE，推出 = ，列出方程即可解決問題．（3）在y軸上 取一點M使得OM= ，構(gòu)造相似三角形，可以證明AM就是E′A+ E′B的最小值．本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法、最小值問題等知識，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，找到線段AM就是E′A+ E′B的最小值，屬于中考壓軸題．
【考點精析】利用二次函數(shù)的最值和相似三角形的判定與性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．