Question

【題目】解答
（1）閱讀理解：
我們把滿足某種條件的所有點(diǎn)所組成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡．
例如：角的平分線是到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡．
問(wèn)題：如圖1，已知EF為△ABC的中位線，M是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM交EF于點(diǎn)P，那么動(dòng)點(diǎn)P為線段AM中點(diǎn)．
理由：∵線段EF為△ABC的中位線，∴EF∥BC，
由平行線分線段成比例得：動(dòng)點(diǎn)P為線段AM中點(diǎn)．
由此你得到動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是： ．
（2）知識(shí)應(yīng)用：
如圖2，已知EF為等邊△ABC邊AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)EF；若AF=BE，且等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8，求線段EF中點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)．
（3）拓展提高：
如圖3，P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），在線段AB的同側(cè)分別作等邊△APC和等邊△PBD，連結(jié)AD、BC，交點(diǎn)為Q．

①求∠AQB的度數(shù)；
②若AB=6，求動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）線段EF
（2）

解：如圖1中，作△ABC的中位線MN，作EG∥AC交NM的延長(zhǎng)線于G，EF與MN交于點(diǎn)Q′

∵△ABC是等邊三角形，MN是中位線，

∴AM=BM=AN=CN，

∵AF=BE，

∴EM=FN，

∵M(jìn)N∥BC，

∴∠AMN=∠B=∠GME=60°，

∵∠A=∠GEM=60°，

∴△GEM是等邊三角形，

∴EM=EG=FN，

在△GQ′E和△NQ′F中，

，

∴△GQ′E≌△NQ′F，

∴EQ′=FQ′，

∵EQ=QF，

′點(diǎn)Q、Q′重合，

∴點(diǎn)Q在線段MN上，

∴段EF中點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段MN，

MN= BC= ×8=4．

∴線段EF中點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)為4．

（3）

解：

①如圖2中，

∵△APC，△PBD都是等邊三角形，

∴AP=PC，PD=PB，∠APC=∠DPB=60°，

∴∠APD=∠CPB，

在△APD和△CPB中，

，

∴△APD≌△CPB，

∴∠ADP=∠CBP，設(shè)BC與PD交于點(diǎn)G，

∵∠QGD=∠PGB，

∴∠DQG=∠BPG=60°，

∴∠AQB=180°﹣∠DQG=120°

②由（1）可知點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是 ，設(shè)弧AB所在圓的圓心為O，Z 圓上任意取一點(diǎn)M，連接AM，BM，

則∠M=60°，

∴∠AOB=2∠M=120°，作OH⊥AB于H，則AH=BH=3，OH= ，OB=2 ，

∴弧AB的長(zhǎng)= = π．

∴動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng) π

【解析】閱讀理解：根據(jù)軌跡的定義可知，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段EF．
知識(shí)應(yīng)用：如圖1中，作△ABC的中位線MN，作EG∥AC交NM的延長(zhǎng)線于G，EF與MN交于點(diǎn)Q′，△GQ′E≌△NQ′F，推出Q、Q′重合即可解決問(wèn)題．
拓展提高：如圖2中，（1）只要證明△APD≌△CPB，推出∠DQG=∠BPG=60°結(jié)論解決問(wèn)題．（2）由（1）可知點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是 ，設(shè)弧AB所在圓的圓心為O，Z 圓上任意取一點(diǎn)M，連接AM，BM，則∠M=60°，作OH⊥AB于H，則AH=BH=3，OH= ，OB=2 ，利用弧長(zhǎng)公式即可解決．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解弧長(zhǎng)計(jì)算公式的相關(guān)知識(shí)，掌握若設(shè)⊙O半徑為R，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為l，則l=nπr/180;注意：在應(yīng)用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的．