已知：如圖，拋物線y=ax2+ax+c與y軸交于點(diǎn)C（0，-2），精英家教網(wǎng)與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）M是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，N是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)，且ON=2OM，分別連接MC、MN．當(dāng)△MNC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；
（3）若平行于x軸的動(dòng)直線與該拋物線交于點(diǎn)P，與線段AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，0）．問：是否存在直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
分析：（1）利用A、C的坐標(biāo)，即可由待定系數(shù)法求得拋物線的解析式．
（2）首先設(shè)出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，即可表示出N點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得CN的長，以CN為底，OM為高，可求得△MNC的面積，從而得到關(guān)于△NMC和M點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得△MNC的最大面積及對應(yīng)的M、N點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）欲求點(diǎn)P的坐標(biāo)，首先要求出點(diǎn)F的縱坐標(biāo)，分三種情況：
①OD=DF，已求得A（-2，0），D（-1，0），那么AD=OD=DF=1，即△AFO是等腰直角三角形，且FD是斜邊上的高，可據(jù)此求得F點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1，將其代入拋物線的解析式中，即可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)；
②OF=FD，過F作x軸的垂線，設(shè)垂足為E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得到AE的長，由于△AFE是等腰直角三角形，那么AE=EF，由此求出點(diǎn)F的縱坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式中，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
③OD=OF=1，由于O到直線AP的距離為
2
＞1，因此這種情況不成立．
解答：精英家教網(wǎng)解：
（1）由題意，得
4a-2a+c=0
c=-2
，（1分）
解得
a=1
c=-2
；（2分）
∴所求拋物線的解析式為：y=x2+x-2．（3分）

（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），則OM=m，ON=2m，CN=2-2m；（4分）
則S△MNC=
1
2
NC•OM
=
1
2
（2-2m）•m=-m2+m=-（m-
1
2
）2+
1
4
；（7分）
由x2+x-2=0，得x1=-2，x2=1；
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）．（8分）
則0＜m＜1，
∴當(dāng)m=
1
2
時(shí)，S△MNC有最大值
1
4
，
此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（
1
2
，0），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，-1）．（9分）

（3）在△ODF中，
①若DO=DF，
∵A（-2，0），D（-1，0），
∴AD=DO=DF=1；
又在Rt△AOC中，OA=OC=2，
∴∠OAC=45°．
∴∠DFA=∠OAC=45°．
∴∠ADF=90°．
此時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-1，-1）；
由x2+x-1=-1，得x1=
1+
5
2
，x2=
-1-
5
2
；
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（
1+
5
2
，-1）或（
-1-
5
2
，-1）；（10分）
②若FO=FD，過點(diǎn)F作FE⊥x軸于點(diǎn)E．
由等腰三角形△AEF中，F(xiàn)E=AE=
3
2
．
∴F（-
1
2
，-
3
2
）．
由x2+x-2=-
3
2
，得x1=
-1+
3
2
，x2=
-1-
3
2
．
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(
-1+
3
2
，-
3
2
)或(
-1-
3
2
，-
3
2
)．（11分）
③若OF=OD，∵OA=OC=2，且∠AOC=90°，
∴AC=2
2
．
∴點(diǎn)O到AC的距離為
2
，而OF=OD=1＜
2
，
此時(shí)，不存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形．
綜上所述，存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形，
所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(
-1+
5
2
，-1)或(
-1-
5
2
，-1)或(
-1+
3
2
，-
3
2
)或(
-1-
3
2
，-
3
2
)．（12分）
點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、二次函數(shù)最值的應(yīng)用、等腰三角形的構(gòu)成條件、等腰三角形的性質(zhì)等知識，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為-1和3，精英家教網(wǎng)與y軸交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3，△ABC的外接圓的圓心為點(diǎn)M．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）求圖象經(jīng)過M、A兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式；
（3）在（1）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使過P、M兩點(diǎn)的直線與△ABC的兩邊AB、BC的交點(diǎn)E、F和點(diǎn)B所組成的△BEF和△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：如圖，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，與y軸相交于點(diǎn)A，直線y=ax+3與y軸也交于點(diǎn)A，矩形ABCO的頂點(diǎn)B在精英家教網(wǎng)此拋物線上，矩形面積為12，
（1）求該拋物線的對稱軸；
（2）⊙P是經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)圓，當(dāng)⊙P與y軸相交，且在y軸上兩交點(diǎn)的距離為4時(shí)，求圓心P的坐標(biāo)；
（3）若線段DO與AB交于點(diǎn)E，以點(diǎn)D、A、E為頂點(diǎn)的三角形是否有可能與以點(diǎn)D、O、A為頂點(diǎn)的三角形相似，如果有可能，請求出點(diǎn)D坐標(biāo)及拋物線解析式；如果不可能，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•寧化縣質(zhì)檢）已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（1-
3
，0）和點(diǎn)B，將拋物線沿x軸向上翻折，頂點(diǎn)P落在點(diǎn)P′（1，3）處．
（1）求原拋物線的解析式；
（2）在原拋物線上，是否存在一點(diǎn)，與它關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)也在該拋物線上？若存在，求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（3）學(xué)校舉行班徽設(shè)計(jì)比賽，九年級（5）班的小明在解答此題時(shí)頓生靈感：過點(diǎn)P′作x軸的平行線交拋物線于C、D兩點(diǎn)，將翻折后得到的新圖象在直線CD以上的部分去掉，設(shè)計(jì)成一個(gè)“W”型的班徽，“5”的拼音開頭字母為W，“W”圖案似大鵬展翅，寓意深遠(yuǎn)；而且小明通過計(jì)算驚奇的發(fā)現(xiàn)這個(gè)“W”圖案的高與寬（CD）的比非常接近黃金分割比
5
-1
2
（約等于0.618）．請你計(jì)算這個(gè)“W”圖案的高與寬的比到底是多少？（參考數(shù)據(jù)：
5
≈2.236，
6
≈2.449，結(jié)果精確到0.001）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知，如圖，拋物線y=ax2-2ax+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)M在拋物線上，且△ABC與△ABM的面積相等，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連接CQ．當(dāng)△CQE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（4）若平行于x軸的動(dòng)直線l與線段AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）．問：是否存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請求出直線l的解析式；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知，如圖，拋物線y=x2+px+q與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA≠OB，OA=OC，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)P，直線PC與x軸的交點(diǎn)D恰好與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱．
（1）求p、q的值．
（2）在題中的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得四邊形PAQD恰好為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）連接PA、AC．問：在直線PC上，是否存在這樣點(diǎn)E（不與點(diǎn)C重合），使得以P、A、E為頂點(diǎn)的三角形與△PAC相似？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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