Question

如圖，拋物線y₁=-ax²-ax+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-

1

2

，

9

8

），且與拋物線y₂=ax²-ax-1相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求a值；
（2）設(shè)y₁=-ax²-ax+1與x軸分別交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊），y₂=ax²-ax-1與x軸分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊），觀察M，N，E，F(xiàn)四點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出一條正確的結(jié)論，并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明；
（3）設(shè)A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別記為x_A，x_B，若在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)Q（x，0），且x_A≤x≤x_B，過(guò)Q作一條垂直于x軸的直線，與兩條拋物線分別交于C，D兩點(diǎn)，試問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)，線段CD有最大值，其最大值為多少？

Answer 1

分析：（1）拋物線y₁=-ax²-ax+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-

1

2

，

9

8

），則把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式就可以求出A的值．
（2）求出A的值以后，兩個(gè)函數(shù)的解析式就可以求出，在解析式中，令y=0就可以求出函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，得出M，N，E，F(xiàn)四點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）線段CD的長(zhǎng)度可以用x表示出來(lái)，即y₂與y₁的差．CD的長(zhǎng)度就可以表示為x的一個(gè)二次函數(shù)，求CD的最值，就是求函數(shù)的最值問(wèn)題．

解答：解：（1）∵點(diǎn)P(-

1

2

，

9

8

)在拋物
y₁=-ax²-ax+1上，
∴-

1

4

a+

1

2

a+1=

9

8

，（2分）
解得a=

1

2

．（3分）

（2）如圖，由（1）知a=

1

2

，
∴拋物線y1=-

1

2

x2-

1

2

x+1，y2=

1

2

x2-

1

2

x-1．（5分）
當(dāng)-

1

2

x2-

1

2

x+1=0時(shí)，解得x₁=-2，x₂=1．
∵點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊，
∴x_M=-2，x_N=1．（6分）
當(dāng)

1

2

x2-

1

2

x-1=0時(shí)，解得x₃=-1，x₄=2．
∵點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊，
∴x_E=-1，x_F=2．（7分）
∵x_M+x_F=0，x_N+x_E=0，
∴點(diǎn)M與點(diǎn)F對(duì)稱，點(diǎn)N與點(diǎn)E對(duì)稱．（8分）

（3）∵a=

1

2

＞0．
∴拋物線y₁開(kāi)口向下，拋物線y₂開(kāi)口向上．（9分）
根據(jù)題意，得CD=y₁-y₂=(-

1

2

x2-

1

2

x+1)-(

1

2

x2-

1

2

x-1)=-x2+2．（11分）
∵x_A≤x≤x_B，
∴當(dāng)x=0時(shí)，CD有最大值2．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)解析式與圖象的關(guān)系，在函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定滿足函數(shù)的解析式．求最值的問(wèn)題解決的基本思路是轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值的問(wèn)題．