Question

船在航行過(guò)程中，船長(zhǎng)通常通過(guò)測(cè)定角度來(lái)確定是否會(huì)遇到暗礁，如圖，A、B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，C表示一個(gè)危險(xiǎn)臨界點(diǎn)，∠ACB就是“危險(xiǎn)角”，當(dāng)船與兩個(gè)燈塔的夾角大于“危險(xiǎn)角”時(shí)，就有可能觸礁；當(dāng)船與兩個(gè)燈塔的夾角小于“危險(xiǎn)角”時(shí)，就能避免觸礁．
（1）當(dāng)船與兩個(gè)燈塔的夾角α大于“危險(xiǎn)角”時(shí)，船位于哪個(gè)區(qū)域？為什么？
（2）當(dāng)船與兩個(gè)燈塔的夾角α小于“危險(xiǎn)角”時(shí)，船位于哪個(gè)區(qū)域？為什么？

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理

專題：幾何圖形問(wèn)題,數(shù)形結(jié)合

分析：（1）由圓周角定理與三角形外角的性質(zhì)，可得當(dāng)船位于⊙O內(nèi)時(shí)，兩個(gè)燈塔的夾角大于“危險(xiǎn)角”；
（2）由圓周角定理與三角形外角的性質(zhì)，可得當(dāng)船位于⊙O內(nèi)時(shí)，兩個(gè)燈塔的夾角小于“危險(xiǎn)角”．

解答：解：（1）當(dāng)船與兩個(gè)燈塔的夾角α大于“危險(xiǎn)角”時(shí)，船位于⊙O內(nèi)，
如圖（1），延長(zhǎng)AP交⊙O于點(diǎn)F，連接BF，
∵∠C=∠F，∠APB＞∠F，
∴∠APB＞∠C，
即α＞∠C，
∴當(dāng)船與兩個(gè)燈塔的夾角α大于“危險(xiǎn)角”時(shí)，船位于⊙O內(nèi)；

（2）當(dāng)船與兩個(gè)燈塔的夾角α小于“危險(xiǎn)角”時(shí)，船位于⊙O外．
如圖（2），連接BE，
∵∠AEB=∠C，∠AEB＞∠P，
∴∠C＞∠P，
即α＜∠C，
∴當(dāng)船與兩個(gè)燈塔的夾角α小于“危險(xiǎn)角”時(shí)，船位于⊙O外．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理以及三角形外角的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．