Question

【題目】如圖，點O為矩形ABCD的對稱中心，AB＝4cm，BC＝6cm，點E、F、G 分別從A、B、C三點同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，點E的運動速度為1cm/s，點G的運動速度為2cm/s，當點F到達點C（即點F與點C重合）時，三個點隨之停止運動．在運動過程中，△EBF關(guān)于直線EF的對稱圖形是△EB′F．設(shè)點E、F、G運動的時間為t（單位：s）．

（1）若點F的運動速度為2 cm/s．

①當t＝______s時，四邊形EBFB′為正方形；

②若以點E、B、F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似，求t的值；

（2）若存在實數(shù)t，使得點B′與點O重合，求出t的值；并求出點F的運動速度．

Answer 1

【答案】（1）①；②2或；（2）

【解析】

（1）利用正方形的性質(zhì)，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；

（2）△EBF與△FCG相似，分兩種情況，需要分類討論，逐一分析計算；

（3）先根據(jù)點B′與點O重合，利用勾股定理求出t的值，再一次利用勾股定理求出F的運動速度.

（1）若四邊形EBFB′為正方形，則BE=BF，BE=4-t，BF=2t，

即：4-t=2t，

解得t=；

故答案為：；

（2）分兩種情況，討論如下：

①若△EBF∽△FCG，

則有，即，

解得：t=2；

②若△EBF∽△GCF，

則有，即，

解得：t=（不合題意，舍去）或t=．

∴當t=2s或t=s時，以點E、B、F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似；

（3）過點O作ON⊥AB于點N，

則在Rt△OEN中，OE=BE=4-t，EN=BE-BN=4-t-2=2-t，ON=3，

由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，

即：32+（2-t）2=（4-t）2

解得：t=；

設(shè)F的運動速度為xcm/s，

過點O作OM⊥BC于點M，

則OF=BF=x，

則在Rt△OFM中，FM=BC-BF=3-x，OM=2，

由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，

即：22+（3-x）2=（x）2

解得：x=，

故點B′與點O重合時，t的值為s，點F的運動速度為cm/s.