Question

12．如圖1，點P為∠MON的平分線上一點，以P點為頂點的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點，如果∠APB繞點P旋轉(zhuǎn)時始終滿足OA•OB=OP²，我們就把∠APB叫做∠MON的智慧角．
（1）如圖2，已知∠MON=90°，點P為∠MON的平分線上一點，以點P為頂點的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點，且∠APB=135°，求證：∠APB是∠MON的智慧角；
（2）如圖1，已知∠MON=α，（0°＜α＜90°），OP=2，若∠APB是∠MON的智慧角，連結(jié)AB，用含α的式子分別表示∠APB的度數(shù)和△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）由角平分線求出∠AOP=∠BOP=$\frac{1}{2}$∠MON=45°，再證出∠OAP=∠OPB，證明△AOP∽△POB，得出對應(yīng)邊成比例$\frac{OA}{OP}$=$\frac{OP}{OB}$，得出OP²=OA•OB，即可得出結(jié)論；
（2）由∠APB是∠MON的智慧角，得出 $\frac{OA}{OP}$=$\frac{OP}{OB}$，證出△AOP∽△POB，得出對應(yīng)角相等∠OAP=∠OPB，即可得出∠APB=180°-$\frac{1}{2}$α；過點A作AH⊥OB于H，由三角形的面積公式得出：S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB•AH，即可得出S_△AOB=2sinα．

解答 （1）證明：∵∠MON=90°，P為∠MON的平分線上一點，
∴∠AOP=∠BOP=$\frac{1}{2}$∠MON=45°，
∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°，
∴∠OAP+∠APO=135°，
∵∠APB=135°，
∴∠APO+∠OPB=135°，
∴∠OAP=∠OPB，
∴△AOP∽△POB，
∴$\frac{OA}{OP}$=$\frac{OP}{OB}$，
∴OP²=OA•OB，
∴∠APB是∠MON的智慧角；

（2）解：∵∠APB是∠MON的智慧角，
∴OA•OB=OP²，
∴$\frac{OA}{OP}$=$\frac{OP}{OB}$，
∵P為∠MON的平分線上一點，
∴∠AOP=∠BOP=$\frac{1}{2}$α，
∴△AOP∽△POB，
∴∠OAP=∠OPB，
∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°-$\frac{1}{2}$α，
即∠APB=180°-$\frac{1}{2}$α；
過點A作AH⊥OB于H，連接AB；如圖1所示：
則S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB•AH=$\frac{1}{2}$OB•OAsinα=$\frac{1}{2}$OP²•sinα，
∵OP=2，
∴S_△AOB=2sinα．

點評 本題是反比例函數(shù)綜合題目，考查了角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、新定義以及運(yùn)用、三角形面積的計算、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題難度較大，綜合性強(qiáng)．