Question

【題目】已知：如圖1，拋物線(xiàn)與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為頂點(diǎn)．

求拋物線(xiàn)解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)D，P為直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、P為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，求直線(xiàn)l的解析式；

如圖2，E為OB的中點(diǎn)，將線(xiàn)段OE繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為，連接、，當(dāng)取得最小值時(shí)，求直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）.

【解析】

由拋物線(xiàn)的交點(diǎn)式可知拋物線(xiàn)的解析式為，通過(guò)整理可得到拋物線(xiàn)的解析式，然后利用配方法可得到拋物線(xiàn)的定點(diǎn)坐標(biāo)；

過(guò)點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線(xiàn)，這兩條垂線(xiàn)與直線(xiàn)l總是有交點(diǎn)的，即2個(gè)點(diǎn)以為直徑的如果與直線(xiàn)l相交，那么就有2個(gè)點(diǎn)Q；如果圓與直線(xiàn)l相切，就只有1個(gè)點(diǎn)了，以AB為直徑作，作QD與相切，則，過(guò)作，先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，于是可求得l的解析式，由圖形的對(duì)稱(chēng)性可知點(diǎn)的坐標(biāo)還可以是，然后可求得另一種情況；

取使，連接，接下來(lái)，證明∽，從而可得到，故此當(dāng)、、在一條直線(xiàn)上時(shí)，有最小值，最后，依據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)度即可．

拋物線(xiàn)與x軸交于，兩點(diǎn)，

．

，

拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．

過(guò)點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線(xiàn)，這兩條垂線(xiàn)與直線(xiàn)l總是有交點(diǎn)的，即2個(gè)點(diǎn)Q．

以AB為直徑的如果與直線(xiàn)l相交，那么就有2個(gè)點(diǎn)Q；如果圓與直線(xiàn)l相切，就只有1個(gè)點(diǎn)Q了．

如圖所示：以AB為直徑作，作QD與相切，則，過(guò)Q作．

，，

．

．

又，

．

，

，

．

點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．

設(shè)l的解析式為，則，解得：，，

直線(xiàn)l的解析式為．

由圖形的對(duì)稱(chēng)性可知：當(dāng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)l與相切，

則，

解得：，，

直線(xiàn)l的解析式為．

綜上所述，直線(xiàn)l的解析式為或．

如圖所示：取M使，連接．

，，，

，

．

又，

∽，

．

．

，

當(dāng)M、、B在一條直線(xiàn)上時(shí)，有最小值，

的最小值．