【題目】在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中,小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng),將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD與邊長(zhǎng)為2的正方形AEFG按圖1位置放置,AD與AE在同一直線上,AB與AG在同一直線上

1小明發(fā)現(xiàn)DGBE,請(qǐng)你幫他說(shuō)明理由

2如圖2,小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)B恰好落在線段DG上時(shí),請(qǐng)你幫他求出此時(shí)BE的長(zhǎng)

3如圖3,小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),線段DG與線段BE將相交,交點(diǎn)為H,寫出GHE與BHD面積之和的最大值,并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由

【答案】1理由見解析;2;36,理由見解析

【解析】

試題分析:1由四邊形ABCD與四邊形AEFG為正方形,利用正方形的性質(zhì)得到兩對(duì)邊相等,且夾角相等,利用SAS得到三角形ADG與三角形ABE全等,利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得AGD=AEB,如圖1所示,延長(zhǎng)EB交DG于點(diǎn)H,利用等角的余角相等得到DHE=90°,利用垂直的定義即可得DGBE;

2由四邊形ABCD與四邊形AEFG為正方形,利用正方形的性質(zhì)得到兩對(duì)邊相等,且夾角相等,利用SAS得到三角形ADG與三角形ABE全等,利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到DG=BE,如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AMDG交DG于點(diǎn)M,AMD=AMG=90°,在直角三角形AMD中,求出AM的長(zhǎng),即為DM的長(zhǎng),根據(jù)勾股定理求出GM的長(zhǎng),進(jìn)而確定出DG的長(zhǎng),即為BE的長(zhǎng);

3GHE和BHD面積之和的最大值為6,理由為:對(duì)于EGH,點(diǎn)H在以EG為直徑的圓上,即當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí),EGH的高最大;對(duì)于BDH,點(diǎn)H在以BD為直徑的圓上,即當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí),BDH的高最大,即可確定出面積的最大值

試題解析:1四邊形ABCD和四邊形AEFG都為正方形,

AD=AB,DAG=BAE=90°,AG=AE,

ADG和ABE中,

,

∴△ADG≌△ABESAS,

∴∠AGD=AEB,

如圖1所示,延長(zhǎng)EB交DG于點(diǎn)H,

ADG中,AGD+ADG=90°,

∴∠AEB+ADG=90°

EDH中,AEB+ADG+DHE=180°

∴∠DHE=90°,

則DGBE;

2四邊形ABCD和四邊形AEFG都為正方形,

AD=AB,DAB=GAE=90°,AG=AE,

∴∠DAB+BAG=GAE+BAG,即DAG=BAE,

ADG和ABE中,

∴△ADG≌△ABESAS

DG=BE,

如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AMDG交DG于點(diǎn)M,AMD=AMG=90°

BD為正方形ABCD的對(duì)角線,

∴∠MDA=45°

在RtAMD中,MDA=45°

cos45°=

AD=2,

DM=AM=,

在RtAMG中,根據(jù)勾股定理得:GM=

DG=DM+GM=,

BE=DG=;

3GHE和BHD面積之和的最大值為6,理由為:

對(duì)于EGH,點(diǎn)H在以EG為直徑的圓上,

當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí),EGH的高最大;

對(duì)于BDH,點(diǎn)H在以BD為直徑的圓上,

當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí),BDH的高最大,

GHE和BHD面積之和的最大值為2+4=6

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②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等,當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí),能夠使△BPD與△CQP全等?
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