【題目】已知拋物線y=axm2+ny軸交于點(diǎn)A,它的頂點(diǎn)為點(diǎn)B,點(diǎn)AB關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)分別為CD.若A、BC、D中任何三點(diǎn)都不在一直線上,則稱四邊形ABCD為拋物線的伴隨四邊形,直線AB為拋物線的伴隨直線.

(1)如圖1,求拋物線y=x﹣2)2+1的伴隨直線的解析式.

(2)如圖2,若拋物線y=axm2+nm>0)的伴隨直線是y=x﹣3,伴隨四邊形的面積為12,求此拋物線的解析式.

(3)如圖3,若拋物線y=axm2+n的伴隨直線是y=2x+bb>0),且伴隨四邊形ABCD是矩形.

①用含b的代數(shù)式表示m、n的值;

②在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使得△PBD是一個(gè)等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)(用含b的代數(shù)式表示);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1y=﹣2x+5;(2y=﹣x﹣22﹣1;(3①m=bn=﹣2×b+b=﹣b,②P點(diǎn)坐標(biāo)為:(bb);(bb);(b,b);(b,b).

【解析】試題分析:(1)利用拋物線y=x﹣22+1的與y軸交于點(diǎn)A0,5),它的頂點(diǎn)為點(diǎn)B21),求出直線解析式即可;

2)首先得出點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,﹣3),以及點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),進(jìn)而求出BE=2,得出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)求出解析式即可;

3由已知可得A坐標(biāo)為(0b),C點(diǎn)坐標(biāo)為(0﹣b),以及n=﹣2m+b,即點(diǎn)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(m﹣2m+b),利用勾股定理求出;

利用B點(diǎn)坐標(biāo),以及BD的長(zhǎng)度即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo).

解:(1)由拋物線y=ax﹣m2+ny軸交于點(diǎn)A,它的頂點(diǎn)為點(diǎn)B,

拋物線y=x﹣22+1的與y軸交于點(diǎn)A0,5),它的頂點(diǎn)為點(diǎn)B2,1),

設(shè)所求直線解析式為y=kx+b,

解得:,

所求直線解析式為y=﹣2x+5

2)如圖,作BE⊥AC于點(diǎn)E,由題意得四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,﹣3),

點(diǎn)C的坐標(biāo)為(03),

可得:AC=6

平行四邊形ABCD的面積為12,

∴SABC=6SABC=ACBE=6

∴BE=2,

∵m0,即頂點(diǎn)By軸的右側(cè),且在直線y=x﹣3上,

頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2﹣1),

又拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A0﹣3),

∴a=﹣,

∴y=﹣x﹣22﹣1;

3如圖,作BF⊥x軸于點(diǎn)F,

由已知可得A坐標(biāo)為(0b),C點(diǎn)坐標(biāo)為(0﹣b),

頂點(diǎn)Bm,n)在直線y=﹣2x+bb0)上,

∴n=﹣2m+b,即點(diǎn)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,﹣2m+b),

在矩形ABCD中,CO=BO

∴b=,

∴b2=m2+4m2﹣4mb+b2,

∴m=b,n=﹣2×b+b=﹣b

②∵B點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n),即(b,b),

∴BO==b,

∴BD=2b,

當(dāng)BD=BP,

∴PF=2b﹣b=b,

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(b,b);

如圖3,當(dāng)DP=PB時(shí),

過(guò)點(diǎn)DDE⊥PB,于點(diǎn)E

∵B點(diǎn)坐標(biāo)為(b,b),

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(b,b),

∴DE=b,BE=b,設(shè)PE=x,

∴DP=PB=b+x,

∴DE2+PE2=DP2

+x2=b+x2,

解得:x=b,

∴PF=PE+EF=b+b=b

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為:(b,b);

同理P可以為(b,b);(b,b),

P點(diǎn)坐標(biāo)為:(b,b);(b,b);(bb);(b,b).

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