Question

20．如圖，已知反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的圖象經過點A（-$\sqrt{3}$，m），過點A作AB⊥x軸于點B，且△AOB的面積為$\sqrt{3}$．
（1）求k和m的值；
（2）若一次函數(shù)y=ax+1的圖象經過點A，并且與x軸相交于點C，求∠ACO的度數(shù)和|AO|．

Answer 1

分析 （1）由△AOB的面積為$\sqrt{3}$，利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得出k值，再由點A在反比例函數(shù)圖象上，利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出m值；
（2）設直線AC與y軸交于點D，則D（0，1），由AB⊥x軸，DO⊥x軸即可得出△CDO∽△CAB，根據(jù)相似三角形的性質即可得出$\frac{CO}{CB}=\frac{DO}{AB}$，進而可得出CB的長，在Rt△CAB中，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出∠ACO的度數(shù)，再根據(jù)點A的坐標利用兩點間的距離公式即可求出|AO|的值．

解答 解：（1）∵△AOB的面積為$\sqrt{3}$，且k＜0，
∴-$\frac{1}{2}$k=$\sqrt{3}$，
解得：k=-2$\sqrt{3}$．
∵點A（-$\sqrt{3}$，m）在反比例函數(shù)y=$\frac{-2\sqrt{3}}{x}$的圖象上，
∴m=$\frac{-2\sqrt{3}}{-\sqrt{3}}$=2．
（2）設直線AC與y軸交于點D，則D（0，1），如圖所示．
∵AB⊥x軸，DO⊥x軸，
∴AB∥DO，
∴△CDO∽△CAB，
∴$\frac{CO}{CB}=\frac{DO}{AB}$，
∵A（-$\sqrt{3}$，2），D（0，1），
∴AB=2，OB=$\sqrt{3}$，DO=1，
∵CB=CO+OB，
∴$\frac{CO}{CO+\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴CO=$\sqrt{3}$．
在Rt△CAB中，AB=2，CB=2$\sqrt{3}$，∠ABC=90°，
∴tan∠ACO=$\frac{AB}{CB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ACO=30°．
∵A（-$\sqrt{3}$，2），
∴|AO|=$\sqrt{（-\sqrt{3}-0）^{2}+（2-0）^{2}}$=$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、相似三角形的判定與性質以及兩點間的距離公式，解題的關鍵是：（1）利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求出k值；（2）求線段CO的長．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)相似三角形的性質找出各邊之間的關系是關鍵．