Question

10．若非零自然數(shù)a，b的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之和恰等于a，b的乘積，則（$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$）¹⁰=（　�。�

• A． 1
• B． 1024
• C． 2104
• D． 2016

Answer 1

分析 此題設(shè)這兩個非零自然數(shù)a，b為mx，nx（其中m，n，x都是正整數(shù)，且m，n互質(zhì)），然后根據(jù)題意可得mx•nx=mnx+x，再變形為x=1+$\frac{1}{mn}$，再根據(jù)x是正整數(shù)進(jìn)行分析論證得出答案．

解答 解：設(shè)這兩個非零自然數(shù)a，b為mx，nx（其中m，n，x都是正整數(shù)，且m，n互質(zhì)），
所以mx•nx=mnx+x，
所以x=1+$\frac{1}{mn}$，
∵m，n，x都是正整數(shù)，且m，n互質(zhì)，
∴m=n=1，
∴x=1+1=2，
∴a=b=2，
∴（$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$）¹⁰=（$\frac{4×4}{4+4}$）¹⁰=2¹⁰=1024．
故選：B．

點評 此題主要考查了學(xué)生對最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之和的理解和掌握．要求學(xué)生能正確運用其解答問題．此題較難，是好題．