Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC、BC．點(diǎn)P沿AC以每秒1個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)Q沿BO以每秒2個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)O運(yùn)動，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，連接PQ．過點(diǎn)Q作QD⊥x軸，與拋物線交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E，連接PD，與BC交于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t秒（t＞0）．

（1）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；

（2）①直接寫出P，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示，結(jié)果需化簡）

②在點(diǎn)P、Q運(yùn)動的過程中，當(dāng)PQ=PD時(shí)，求t的值；

（3）試探究在點(diǎn)P，Q運(yùn)動的過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得點(diǎn)F為PD的中點(diǎn)？若存在，請直接寫出此時(shí)t的值與點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+3；（2）①P（t﹣3，t），D（9﹣2t，﹣t2+t），②；（3）t=3，F(xiàn)（，）．

【解析】試題分析：（1）先求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式；

（2）①過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G ，由AO=3，BO=9，OC=，得到∠CAO=60°，∠APG=30°，從而有AP=t， AG=，PG=，得到P的坐標(biāo)．由OQ=，得到D的橫坐標(biāo)，由D在拋物線上，得到D的縱坐標(biāo)；

②過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，PH⊥QD于點(diǎn)H，得到四邊形PGQH是矩形，從而有QD=2HQ=2PG，解關(guān)于t的方程即可；

（3）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和F在直線BC上得到，解得t=3．把t=3代入得到F的坐標(biāo)．

試題解析：（1）由y=0，得，解得：，，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（9，0）．由x=0，得，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0， ）．

設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：，∴ ，解得：，∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為： ；

（2）①過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G ．∵A（-3，0），B（9，0），C（0， ）∴AO=3，BO=9，OC=，∴tan∠CAO= ，∴∠CAO=60°，∴∠APG=30°，∵AP=t，∴AG=，PG=，∴OG=3-，∴P（，）．∵OQ=，∴D的橫坐標(biāo)為，∵D在拋物線上，∴D的縱坐標(biāo)為=，∴D D（， ）．

綜上所述：P（，），D（， ）；

②過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，PH⊥QD于點(diǎn)H．∵QD⊥x軸，∴四邊形PGQH是矩形，∴HQ=PG．∵PQ=PD，PH⊥QD，∴QD=2HQ=2PG．

∵P、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P（，），D（， ），∴=，解得：（舍去），，∴當(dāng)PQ=PD時(shí)，t的值為．

（3）∵F為PD的中點(diǎn)，且P（，），D（， ），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：F（， ），∵F在直線BC上，∴，∴，解得：t=3．

當(dāng)t=3時(shí)，=，=，∴F（，）．