Question

20．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)線段OA的端點(diǎn)A，O為原點(diǎn)，作AB⊥x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），tan∠AOB=$\frac{3}{2}$．
（1）求k的值；
（2）將線段AB沿x軸正方向平移到線段DC的位置，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象恰好經(jīng)過(guò)DC上一點(diǎn)E，且DE：EC=2：1，求直線AE的函數(shù)表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，若直線AE與x軸交于點(diǎn)N，與y軸交于點(diǎn)M，請(qǐng)你探索線段AM與線段NE的大小關(guān)系，寫出你的結(jié)論并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）在Rt△OAB中，利用三角函數(shù)的定義，可求得AB的長(zhǎng)，可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式可求得k的值；
（2）由平移的性質(zhì)可求得E點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AE的表達(dá)式；
（3）延長(zhǎng)DA交y軸于點(diǎn)F，由（2）可求得M、N的坐標(biāo)，由A點(diǎn)坐標(biāo)可求得AF、OF，在Rt△AMF中可求得AM，在Rt△CEN中可求得EN，可得出結(jié)論．

解答 解：
（1）在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AB}{OB}$=$\frac{3}{2}$，
∴AB=3，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），
∵A點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，
∴k=xy=6；
（2）∵DC由AB平移得到，DE：EC=2：1，
∴CE=1，即E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，
∵E點(diǎn)在反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$上，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（6，1），
設(shè)直線AE的表達(dá)式為y=ax+b，把A、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=3}\\{6a+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線AE的表達(dá)式為y=-$\frac{1}{2}$x+4；
（3）結(jié)論：AM=NE．
理由如下：
在表達(dá)式y(tǒng)=-$\frac{1}{2}$x+4中，令y=0可得x=8，令x=0可得y=4，
∴M（0，4），N（8，0），
如圖，延長(zhǎng)DA交y軸于點(diǎn)F，則AF⊥OM，且AF=2，OF=3，

∴MF=OM-OF=1，
在Rt△AMF中，由勾股定理可得AM=$\sqrt{A{F}^{2}+M{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵CN=ON-OC=8-6=2，EC=1，
∴在Rt△CEN中，由勾股定理可得EN=$\sqrt{C{N}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AM=NE．

點(diǎn)評(píng) 本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法、三角函數(shù)的定義、坐標(biāo)的意義及勾股定理等．在（1）中注意三角函數(shù)的應(yīng)用，在（2）中求得E點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中構(gòu)造Rt△AFM是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較為基礎(chǔ)，屬于基礎(chǔ)題，難度不大．