Question

【題目】如圖，已知AB=12，點C、D在AB上，且AC=DB=2，點P從點C沿線段CD向點D運動（運動到點D停止），以AP、BP為斜邊在AB的同側(cè)畫等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，連接EF，取EF的中點G，下列說法中正確的有（ ）

①△EFP的外接圓的圓心為點G；

②四邊形AEFB的面積不變；

③EF的中點G移動的路徑長為4．

A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個

Answer 1

【答案】C

【解析】

試題如圖，分別延長AE、BF交于點H．

∵等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，∴∠A=∠FPB=45°，∠B=∠EPA=45°，∴AH∥PF，BH∥PE，∠EPF=180°﹣∠EPA﹣∠FPB=90°，∴四邊形EPFH為平行四邊形，∴EF與HP互相平分．∵G為EF的中點，∴G也為PH中點，即在P的運動過程中，G始終為PH的中點，∴G的運行軌跡為△HCD的中位線MN．∵CD=12﹣2﹣2=8，∴MN=4，即G的移動路徑長為4．故④EF的中點G移動的路徑長為4，正確；

∵G為EF的中點，∠EPF=90°，∴①△EFP的外接圓的圓心為點G，正確，∴①④正確．

連接PG，∵PG≠PF，∴△EFP的外接圓與AB相交，故②錯誤；

∵點P從點C沿線段CD向點D運動（運動到點D停止），易證∠EPF=90°，所以四邊形面積便是三個直角三角形的面積和，設(shè)cp=x，則四邊形面積S=，∴AP不斷增大，∴四邊形的面積S也會隨之變化，故③錯誤．

故選B．