【題目】在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC內(nèi)一點,且滿足PA=3,PB=1,PC=2,則∠BPC的度數(shù)為___________.
【答案】135°
【解析】
過點C作CD⊥CP,使CD=CP=2,連接CD,PD,AD,根據(jù)AC=BC,由同角的余角相等得到夾角相等,利用SAS的三角形ACD與三角形CBP全等,利用全等三角形對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等得到AD=BP=1,∠ADC=∠BPC,在直角三角形DCP中,利用勾股定理求出DP的長,由AD以及AP的長,利用勾股定理的逆定理得到三角形ADP為直角三角形,由∠4+∠5求出∠ADC度數(shù),即為∠BPC度數(shù).
過點C作CD⊥CP,使CD=CP=2,連接CD,PD,AD,
∵∠1+∠2=∠ACB=90°=∠DCP=∠3+∠2,
∴∠1=∠3,
在△CAD和△CBP中,
∴△CAD≌△CBP(SAS),
∴DA=PB=1,∠ADC=∠BPC,
在等腰Rt△DCP中,∠4=45°,
根據(jù)勾股定理得:DP2=CD2+CP2=22+22=8,
∵DP2+DA2=8+1=9,AP2=32=9,
∴DP2+DA2=AP2,
∴△ADP為直角三角形,即∠5=90°,
則∠BPC=∠ADC=∠4+∠5=45°+90°=135°.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】嘉淇正在參加全國“數(shù)學競賽”,只要他再答對最后兩道單選題就能順利過關(guān),其中第一道題有3個選項,第二道題有4個選項,而這兩道題嘉淇都不會,不過嘉淇還有一次“求助”沒有使用(使用“求助”可讓主持人去掉其中一題的一個錯誤選項).
(1)如果嘉淇第一題不使用“求助”,隨機選擇一個選項,那么嘉淇答對第一道題的概率是多少?
(2)若嘉淇將“求助”留在第二題使用,請用畫樹狀圖或列表法求嘉淇能順利過關(guān)的概率;
(3)請你從概率的角度分析,建議嘉洪在第幾題使用“求助”,才能使他過關(guān)的概率較大.
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【題目】如圖,點,分別在正方形的邊,上,且,點在射線上(點不與點重合).將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段,過點作的垂線,垂足為點,交射線于點.
(1)如圖1,若點是的中點,點在線段上,線段,,的數(shù)量關(guān)系為 .
(2)如圖2,若點不是的中點,點在線段上,判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立.若成立,請寫出證明過程;若不成立,請說明理由.
(3)正方形的邊長為6,,,請直接寫出線段的長.
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【題目】二次函數(shù)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論:①;②;③;④;⑤的解為,其中正確的有( )
A. 5個 B. 4個 C. 3個 D. 2個
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【題目】閱讀材料:如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根,
那么有x1+x2=﹣,x1x2= .這是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,我們利用它可以用來解題,例x1,x2是方程x2+6x﹣3=0的兩根,求x12+x22的值.解法可以這樣:∵x1+x2=﹣6,x1x2=﹣3則x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=(﹣6)2﹣2×(﹣3)=42.
請你根據(jù)以上解法解答下題:已知x1,x2是方程x2﹣4x+2=0的兩根,求:
(1) 的值;
(2)(x1﹣x2)2的值.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點C在AB的延長線上,CD與⊙O相切于點D,CE⊥AD,交AD的延長線于點E.
(1)求證:∠BDC=∠A;
(2)若CE=4,DE=2,求AD的長.
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【題目】小敏的爸爸買了某項體育比賽的一張門票,她和哥哥兩人都很想去觀看.可門票只有一張,讀九年級的哥哥想了一個辦法,拿了一個不透明的袋子中裝有1個紅球和2個白球,這些球除顏色外都相同,隨機摸出一個球后,放回并攪勻,再隨機摸出一個球,如果兩次摸到的球顏色相同,則小敏去;如果兩次摸到的球顏色不同,則哥哥去.這個游戲規(guī)則公平嗎?請說明理由; (請結(jié)合樹狀圖或列表解答)
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【題目】工廠對某種新型材料進行加工,首先要將其加溫,使這種材料保持在一定溫度范圍內(nèi)方可加工,如圖是在這種材料的加工過程中,該材料的溫度y(℃)時間x(min)變化的數(shù)圖象,已知該材料,初始溫度為15℃,在溫度上升階段,y與x成一次函數(shù)關(guān)系,在第5分鐘溫度達到60℃后停止加溫,在溫度下降階段,y與x成反比例關(guān)系.
(1)寫出該材料溫度上升和下降階段,y與x的函數(shù)關(guān)系式:
①上升階段:當0≤x≤5時,y= ;
②下降階段:當x>5時,y .
(2)根據(jù)工藝要求,當材料的溫度不低于30℃,可以進行產(chǎn)品加工,請問在圖中所示的溫度變化過程中,可以進行加工多長時間?
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【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點A(0,2),對稱軸為直線x=﹣2,平行于x軸的直線與拋物線交于B、C兩點,點B在對稱軸左側(cè),BC=6.
(1)求此拋物線的解析式.
(2)點P在x軸上,直線CP將△ABC面積分成2:3兩部分,請直接寫出P點坐標.
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