【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交于A(﹣1,0),C(2,3)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)N,其頂點(diǎn)為D.
(1)求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t;
①當(dāng)S△ACP=S△ACN時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
②是否存在點(diǎn)P,使得△ACP是以AC為斜邊的直角三角形?若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若拋物線的對(duì)稱軸與直線AC相交于點(diǎn)B,E為直線AC上的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作EF∥BD交拋物線于點(diǎn)F,以B,D,E,F為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形?若能,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3,直線AC解析式為y=x+1;(2)①P(1,4),②P(,);(3)點(diǎn)E的坐標(biāo)為:(0,1)或(,)或(,)
【解析】
(1)設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n,根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,利用待定系數(shù)法求出b、c,m、n的值,即可得答案;(2)①根據(jù)二次函數(shù)解析式可得N點(diǎn)坐標(biāo),過(guò)點(diǎn)N作NP//AC,根據(jù)平行線間的距離相等可得S△ACP=S△CAN,設(shè)直線NP的解析式為y=kx+a,由NP//AC可得k=1,把N點(diǎn)坐標(biāo)代入可得a=3,可得直線NP的解析式,聯(lián)立直線NP與二次函數(shù)解析式即可得P點(diǎn)坐標(biāo);②過(guò)P作PS⊥x軸于S,過(guò)C作CK⊥PS于K,則∠CKP=∠PSA=90°,根據(jù)點(diǎn)A、C、P、的坐標(biāo)可用t表示出CK、PK、PS和AS的長(zhǎng),根據(jù)直角三角形兩銳角的互余關(guān)系可得∠APS=∠PCK,即可證明△APS∽△PCK,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程求出t值即可;(3)把二次函數(shù)解析式配方,可得頂點(diǎn)D的坐標(biāo),可求出BD的長(zhǎng),設(shè)點(diǎn)E(m,m+1),可用m表示點(diǎn)F的坐標(biāo),即可表示出EF的長(zhǎng),根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得EF=BD,列方程求出m的值即可得答案.
(1)將A(﹣1,0),C(2,3)代入y=﹣x2+bx+c中,得,
解得:,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3,
設(shè)直線AC解析式為y=mx+n,
∵點(diǎn)A(-1,0)、C(2,3)在直線AC上,
∴,
解得:,
∴直線AC解析式為y=x+1.
(2)①在y=﹣x2+2x+3中,令x=0,得y=3,
∴N(0,3),
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,點(diǎn)P在拋物線y=-x2+2x+3圖象上,
∴P(t,﹣t2+2t+3),
如圖,過(guò)點(diǎn)P作PH//AC,
∵平行線間的距離相等,
∴S△ACP=S△CAN,
設(shè)直線NP的解析式為y=kx+a,
∴k=1,
把N(0,3)代入得a=3,
∴直線NP的解析式為y=x+3,
聯(lián)立直線NP與拋物線解析式得,
解得:或(舍去),
∴P(1,4).
②如圖2,過(guò)P作PS⊥x軸于S,過(guò)C作CK⊥PS于K,則∠CKP=∠PSA=90°,
∵P(t,﹣t2+2t+3),A(﹣1,0),C(2,3),
∴CK=2﹣t,PK=﹣t2+2t,PS=﹣t2+2t+3,AS=t﹣(﹣1)=t+1,
∵△ACP是以AC為斜邊的直角三角形,
∴∠APS+∠CPK=∠APC=90°,
∵∠PCK+∠CPK=90°,
∴∠APS=∠PCK,
∴△APS∽△PCK,
∴=,即=,
解得:t=,
∵P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),
∴﹣1<t<2,
∵>2,
∴t=,
∴﹣t2+2t+3=,
∴P(,).
(3)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴頂點(diǎn)D(1,4),
∴B(1,2),BD=2,
∵點(diǎn)E在直線AC上,AC解析式為y=x+1,
∴設(shè)點(diǎn)E(m,m+1),
∵B,D,E,F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,
∴EF=BD,
∵EF//BD,BD為拋物線對(duì)稱軸,
∴F(m,﹣m2+2m+3),EF=,
∴m2-m-2=±2,解得:m1=0,m2=1(舍去),m3=,m4=,
∴,以B,D,E,F為頂點(diǎn)的四邊形能為平行四邊形,點(diǎn)E的坐標(biāo)為:(0,1)或(,)或(,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線的對(duì)稱軸為直線,且拋物線經(jīng)過(guò),兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn).
(1)若直線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn),求直線和拋物線的解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),聯(lián)結(jié)、,若是以為直角邊的直角三角形,求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A(﹣4,0)、B(﹣l,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是第三象限的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,△ACD的面積為量求出S與m的函數(shù)關(guān)系式,并確定m為何值時(shí)S有最大值,最大值是多少?
(3)若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn),是否存在點(diǎn)P使得∠APC=90°?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面是小董設(shè)計(jì)的“作已知圓的內(nèi)接正三角形”的尺規(guī)作圖過(guò)程.
已知:⊙O.
求作:⊙O的內(nèi)接正三角形.
作法:如圖,
①作直徑AB;
②以B為圓心,OB為半徑作弧,與⊙O交于C,D兩點(diǎn);
③連接AC,AD,CD.
所以△ACD就是所求的三角形.
根據(jù)小董設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程,
(1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明:
證明:在⊙O中,連接OC,OD,BC,BD,
∵OC=OB=BC,
∴△OBC為等邊三角形(_______________)(填推理的依據(jù)).
∴∠BOC=60°.
∴∠AOC=180°-∠BOC=120°.
同理∠AOD=120°,
∴∠COD=∠AOC=∠AOD=120°.
∴AC=CD=AD(_______________)(填推理的依據(jù)).
∴△ACD是等邊三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為圓心的圓過(guò)點(diǎn)A(,0),直線y=kx-2k+3與⊙O交于B、C兩點(diǎn),則弦BC的長(zhǎng)的最小值為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】山西省第十五屆運(yùn)動(dòng)會(huì)乒乓球比賽于2018年8月13日上午在山西省體育博物館的比賽場(chǎng)館內(nèi)正式拉開了帷幕.第十五屆運(yùn)動(dòng)會(huì)競(jìng)技體育組乒乓球項(xiàng)目產(chǎn)生的決賽運(yùn)動(dòng)員名單中太原市共27人,其中甲組有甲、乙、丙、丁四名女子運(yùn)動(dòng)員,若進(jìn)行一次乒乓球單打比賽,要通過(guò)抽簽從中選出兩名運(yùn)動(dòng)員打第一場(chǎng)比賽.
(1)若已確定甲打第一場(chǎng),再?gòu)钠溆嗳\(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選取一位,求恰好選中乙的概率;
(2)若兩名運(yùn)動(dòng)員都不確定,請(qǐng)用樹狀圖法或列表法,求恰好選中甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我省南部的南宮山景區(qū),為吸引游客組團(tuán)來(lái)此旅游特推出了如下門票收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn):
標(biāo)準(zhǔn)一:如果人數(shù)不超過(guò)20人,門票價(jià)格70元/人
標(biāo)準(zhǔn)二:如果人數(shù)超過(guò)20人,每超過(guò)1人,門票價(jià)格降低2元,但門票價(jià)格不低于55元/人
(1)若某單位組織22名員工去南宮山景區(qū)旅游,則購(gòu)買門票共需多少元?
(2)若某單位共支付南宮山景區(qū)門票費(fèi)用1500元,試求該單位這次共有多少名員工去南宮山旅游.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,,三條內(nèi)角平分線交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作垂線,分別交、于點(diǎn)、,請(qǐng)寫出圖中相似的三角形,并說(shuō)明其中兩對(duì)相似的理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將△ABC沿BC翻折得到△DBC,再將△DBC繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△FEC,延長(zhǎng)BD交EF于H,已知∠ABC=30°,∠BAC=90°,AC=1,則四邊形CDHF的面積為_____.
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