Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點A（5，0）、B（-1，0），點C在第一象限，∠OAC=90°，tanC=

1

2

，拋物線y=

1

4

x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求點A關(guān)于直線OC的對稱點A′的坐標(biāo)；
（3）點P是拋物線上一動點，過點P作y軸的平行線，交線段CA′于點M，如果四邊形PACM是平行四邊形，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）把點A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出b、c，然后寫出拋物線解析式即可；
（2）根據(jù)點A的坐標(biāo)求出OA，再求出AC，然后利用勾股定理列式求出OC，再利用三角形的面積和軸對稱的性質(zhì)求出AA′，過點A′作A′D⊥x軸于D，利用∠A′AD的正弦和余弦求出A′D，AD，再求出OD，然后寫出點A′的坐標(biāo)即可；
（3）設(shè)直線A′C的解析式為y=kx+b（k≠0），利用直線解析式和拋物線解析式表示出PM，再根據(jù)平行四邊形對邊相等可得PM=AC，然后解方程求出x的值，再根據(jù)點M在線段CA′上判斷即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=

1

4

x²+bx+c經(jīng)過A（5，0）、B（-1，0），
∴

25 4 +5b+c=0 1 4 -b+c=0

，
解得

b=-1 c=- 5 4

，
∴拋物線的解析式為y=

1

4

x²-x-

5

4

；

（2）∵A（5，0），
∴OA=5，
∵OAC=90°，tanC=

1

2

，
∴AC=5÷

1

2

=10，
由勾股定理得，OC=

OA2+AC2

=

52+102

=5

5

，
∵A、A′關(guān)于OC對稱，
∴S_△AOC=

1

2

×（

1

2

AA′）•OC=

1

2

OA•AC，
即

1

2

×（

1

2

AA′）•×5

5

=

1

2

×5×10，
解得AA′=4

5

，
∵∠A′AD+∠A′AC=∠C+∠A′AC=90°，
∴∠A′AD=∠C，
過點A′作A′D⊥x軸于D，
A′D=4

5

×

5

5 5

=4，
AD=4

5

×

10

5 5

=8，
∴OD=AD-OA=8-5=3，
∴點A′的坐標(biāo)為（-3，4）；

（3）設(shè)直線A′C的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵直線經(jīng)過點A′（-3，4），C（5，10），
∴

-3k+b=4 5k+b=10

，
解得

k= 3 4 b= 25 4

，
直線A′C的解析式為y=

3

4

x+

25

4

，
∵PM∥y軸，
∴PM=（

3

4

x+

25

4

）-（

1

4

x²-x-

5

4

）=-

1

4

x²+

7

4

x+

15

2

，
∵四邊形PACM是平行四邊形，
∴PM=AC，
∴-

1

4

x²+

7

4

x+

15

2

=10，
整理得，x²-7x+10=0，
解得x₁=2，x₂=5，
∵點M在線段CA′，
∴-3＜x＜5，
∴x=2，
當(dāng)x=2時，y=

1

4

×2²-2-

5

4

=-

13

4

，
∴點P的坐標(biāo)為（2，-

13

4

）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，軸對稱的性質(zhì)，三角形的面積，平行四邊形的對邊相等的性質(zhì)，解一元二次方程，難點在于（2）確定出點A′位置，（3）根據(jù)平行四邊形的對邊相等列出方程．