【題目】在線段AB的同側(cè)作射線AM和BN,若∠MAB與∠NBA的平分線分別交射線BN,AM于點(diǎn)E,F(xiàn),AE和BF交于點(diǎn)P.如圖,點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)發(fā)現(xiàn)當(dāng)射線AM,BN交于點(diǎn)C;且∠ACB=60°時(shí),有以下兩個(gè)結(jié)論:
①∠APB=120°;②AF+BE=AB.
那么,當(dāng)AM∥BN時(shí):
(1)點(diǎn)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論還成立嗎?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)求出∠APB的度數(shù),寫出AF,BE,AB長度之間的等量關(guān)系,并給予證明;
(2)設(shè)點(diǎn)Q為線段AE上一點(diǎn),QB=5,若AF+BE=16,四邊形ABEF的面積為32 ,求AQ的長.
【答案】
(1)
解:解:點(diǎn)點(diǎn)的結(jié)論:①∵∠ACB=60°,
∴∠BAC+∠ABC=120°,
∵∠MAB與∠NBA的平分線分別交射線BN,AM于點(diǎn)E,F(xiàn),
∴∠PAB+∠PBA= (∠PAB+∠PBA)=60°,
∴∠APB=120°,
②如圖,在AB上取一點(diǎn)G,使AG=AF,
∵AE是∠BAM的角平分線,
∴∠PAG=∠PAF,
在△PAG和△PAF中, ,
∴△PAG≌△PAF(SAS),
∴∠AFP=∠AGP,
∵∠EPF=∠APB=120°,∠ACB=60°,
∴∠EPF+∠ACB=180°,
∴∠PFC+∠PEC=180°,
∵∠PFC+∠AFP=180°,
∴∠PEC=∠AFP,
∴∠PEC=∠AGP,
∵∠AGP+∠BGP=180°,
∴∠PEC+∠BGP=180°,
∵∠PEC+∠PEB=180°,
∴∠BGP=∠BEP,
∵BF是∠ABC的角平分線,
∴∠PBG=∠PBE,
在△BPG和△BPE中, ,
∴△BPG≌△BPE(AAS),
∴BG=BE,
∴AF+BE=AB.
原命題不成立,新結(jié)論為:∠APB=90°,AF+BE=2AB(或AF=BE=AB),
理由:∵AM∥BN,
∴∠MAB+∠NBA=180°,
∵AE,BF分別平分∠MAB,NBA,
∴∠EAB= ∠MAB,∠FBA= ∠NBA,
∴∠EAB+∠FBA= (∠MAB+∠NBA)=90°,
∴∠APB=90°,
∵AE平分∠MAB,
∴∠MAE=∠BAE,
∵AM∥BN,
∴∠MAE=∠BAE,
∴∠BAE=∠BEA,
∴AB=BE,
同理:AF=AB,
∴AF+BE=2AB(或AF=BE=AB)
(2)
解:如圖1,
過點(diǎn)F作FG⊥AB于G,
∵AF=BE,AF∥BE,
∴四邊形ABEF是平行四邊形,
∵AF+BE=16,
∴AB=AF=BE=8,
∵32 =8×FG,
∴FG=4 ,
在Rt△FAG中,AF=8,
∴∠FAG=60°,
當(dāng)點(diǎn)G在線段AB上時(shí),∠FAB=60°,
當(dāng)點(diǎn)G在線段BA延長線時(shí),∠FAB=120°,
①如圖2,
當(dāng)∠FAB=60°時(shí),∠PAB=30°,
∴PB=4,PA=4 ,
∵BQ=5,∠BPA=90°,
∴PQ=3,
∴AQ=4 ﹣3或AQ=4 +3.
②如圖3,
當(dāng)∠FAB=120°時(shí),∠PAB=60°,∠FBG=30°,
∴PB=4 ,
∵PB=4 >5,
∴線段AE上不存在符合條件的點(diǎn)Q,
∴當(dāng)∠FAB=60°時(shí),AQ=4 ﹣3或4 +3.
【解析】點(diǎn)點(diǎn)的兩個(gè)結(jié)論:①利用三角形的角平分線和三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論;②先判斷出△PAG≌△PAF(SAS)得出∠AFP=∠AGP,結(jié)合同角的補(bǔ)角相等即可得出∠BGP=∠BEP,進(jìn)而判斷出△BPG≌△BPE(AAS),即可得出結(jié)論;(1)由角平分線和平行線整體求出∠MAB+∠NBA,從而得到∠APB=90°,最后用等邊對(duì)等角,即可.(2)先根據(jù)條件求出AF,F(xiàn)G,求出∠FAG=60°,最后分兩種情況討論計(jì)算.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2+(k﹣1)x﹣k與直線y=kx+1交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè).
(1)如圖1,當(dāng)k=1時(shí),直接寫出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)在(1)的條件下,點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且在直線AB下方,試求出△ABP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖2,拋物線y=x2+(k﹣1)x﹣k(k>0)與x軸交于點(diǎn)C、D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)),在直線y=kx+1上是否存在唯一一點(diǎn)Q,使得∠OQC=90°?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)k的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】大學(xué)生小劉回鄉(xiāng)創(chuàng)辦小微企業(yè),初期購得原材料若干噸,每天生產(chǎn)相同件數(shù)的某種產(chǎn)品,單件產(chǎn)品所耗費(fèi)的原材料相同.當(dāng)生產(chǎn)6天后剩余原材料36噸,當(dāng)生產(chǎn)10天后剩余原材料30噸.若剩余原材料數(shù)量小于或等于3噸,則需補(bǔ)充原材料以保證正常生產(chǎn).
(1)求初期購得的原材料噸數(shù)與每天所耗費(fèi)的原材料噸數(shù);
(2)若生產(chǎn)16天后,根據(jù)市場需求每天產(chǎn)量提高20%,則最多再生產(chǎn)多少天后必須補(bǔ)充原材料?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+mx+3與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0)
(1)求m的值及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).
(2)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PA+PC的值最小時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(閱讀理解)
點(diǎn)A、B、C為數(shù)軸上三點(diǎn),如果點(diǎn)C在A、B之間且到A的距離是點(diǎn)C到B的距離3倍,那么我們就稱點(diǎn)C是{ A,B }的奇點(diǎn).
例如,如圖1,點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣3,點(diǎn)B表示的數(shù)為1.表示0的點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是3,到點(diǎn)B的距離是1,那么點(diǎn)C是{ A,B }的奇點(diǎn);又如,表示﹣2的點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離是1,到點(diǎn)B的距離是3,那么點(diǎn)D就不是{A,B }的奇點(diǎn),但點(diǎn)D是{B,A}的奇點(diǎn).
(知識(shí)運(yùn)用)
如圖2,M、N為數(shù)軸上兩點(diǎn),點(diǎn)M所表示的數(shù)為﹣3,點(diǎn)N所表示的數(shù)為5.
(1)數(shù) 所表示的點(diǎn)是{ M,N}的奇點(diǎn);數(shù) 所表示的點(diǎn)是{N,M}的奇點(diǎn);
(2)如圖3,A、B為數(shù)軸上兩點(diǎn),點(diǎn)A所表示的數(shù)為﹣50,點(diǎn)B所表示的數(shù)為30.現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)向左運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)A停止.P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到數(shù)軸上的什么位置時(shí),P、A和B中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的奇點(diǎn)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)下列代數(shù)式作出解釋,其中不正確的是( )
A. a-b:今年小明b歲,小明的爸爸a歲,小明比他爸爸小(a-b)歲
B. a-b:今年小明b歲,小明的爸爸a歲,則小明出生時(shí),他爸爸為(a-b)歲
C. ab:長方形的長為acm,寬為bcm,長方形的面積為ab
D. ab:三角形的一邊長為acm,這邊上的高為bcm,此三角形的面積為ab
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E、F分別是AB,CD上的點(diǎn),且BE=DF,連接EF交BD于O.
(1)求證:BO=DO;
(2)若EF⊥AB,延長EF交AD的延長線于G,當(dāng)FG=1時(shí),求AD的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn),M是線段AC的中點(diǎn),N是線段BC的中點(diǎn).
(1)如果AB=10cm,AM=3cm,求CN的長;
(2)如果MN=6cm,求AB的長.
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