Question

13．如圖，△ABC中，∠ABC=90°．
（1）請(qǐng)?jiān)贐C上找一點(diǎn)P，作⊙P與AC，AB都相切，切點(diǎn)為Q；（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）
（2）若AB=3，BC=4，求第（1）題中所作圓的半徑；
（3）連結(jié)BQ，第（2）中的條件均不變，求sin∠CBQ．

Answer 1

分析 （1）作∠BAC的平分線交BC于P點(diǎn)，然后以點(diǎn)P為圓心，PB為半徑作圓即可；
（2）連結(jié)PQ，如圖，先計(jì)算出AC=5，設(shè)半徑為r，BP=PQ=r，PC=4-r，再證明Rt△CPQ∽R(shí)t△CAB，則可利用相似比計(jì)算出r即可；
（3）先利用切線長(zhǎng)定理得到AB=AQ，加上PB=PQ，則判定AP為BQ的垂直平分線，則利用等角的余角相等得到∠CBQ=∠BAP，然后在Rt△ABP中利用正弦定義求出sin∠BAP，從而可得到sin∠CBQ的值．

解答 解：（1）如圖，⊙P為所作；
（2）連結(jié)PQ，如圖，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
設(shè)半徑為r，BP=PQ=r，PC=4-r
∵AB與⊙P相切于Q，
∴PQ⊥AC，
∵∠PCQ=∠ACP，
∴Rt△CPQ∽R(shí)t△CAB，
∴$\frac{PQ}{AB}$=$\frac{CP}{CA}$，即$\frac{r}{3}$=$\frac{4-r}{5}$，解得r=$\frac{3}{2}$，
即所作圓的半徑為$\frac{3}{2}$；
（3）∵AB、AQ為⊙P的切線，
∴AB=AQ，
∵PB=PQ，
∴AP為BQ的垂直平分線，
∴∠BAP+∠ABQ=90°，
∵∠CBQ+∠ABQ=90°，
∴∠CBQ=∠BAP，
在Rt△ABP中，AP=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴sin∠BAP=$\frac{BP}{AP}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠CBQ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)和三角函數(shù)的定義．