【題目】如圖1,在四邊形ABCD中,∠BAD=∠BDC=90°,AB=AD,∠DCB=60°,CD=8.
(1)若P是BD上一點,且PA=CD,求∠PAB的度數(shù).
(2)①將圖1中的△ABD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)30°,點D落在邊BC上的E處,AE交BD于點O,連接DE,如圖2,求證:DE2=DODB;
②將圖1中△ABD繞點B旋轉(zhuǎn)α得到△A'BD'(A與A',D與D'是對應(yīng)點),若CD'=CD,則cosα的值為 .
【答案】(1)∠P'AB=75°或15°(2)①見解析②
【解析】
(1)先解直角三角形BDC與直角三角形ABD,過點H作AH⊥BD于H,分點P在點H的左側(cè)和右側(cè)兩種情況,分別解直角三角形即可;
(2)
①利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出∠AEB=45°,∠DOE=∠DEB=75°,證△BDE∽△EDO即可;
②根據(jù)題意△ABD繞點B旋轉(zhuǎn)α得到△A'BD'(A與A',D與D'是對應(yīng)點),CD'=CD,則cosα的值為.
(1)在Rt△BDC中,∠DCB=60°,CD=8,
∴ BC=16,BD=8,
在Rt△ABD中,AB=AD,
∴ ∠ABD=∠ADB=45°,
∴ AB=AD=8× =4 ,
如圖1,過點H作AH⊥BD于H,
則∠BAH=∠DAH=45°,AH= BD=4,
當(dāng)點P在點H右側(cè)時,
在Rt△AHP中,AH=4,AP=DC=8,∴ ∠HAP=30°,
∴ ∠PAB=∠BAH+∠HAP=75°.
當(dāng)點P'在點H左側(cè)時,
∴ ∠P'AB=∠BAH-∠HAP'=15°.
綜上所述,∠P'AB=75°或15°.
(2)①由題意知,BE與BC在同一條直線上,∠AEB=45°,BD=BE,
∵ ∠DBE=30°,
∴ ∠BDE=∠BED= (180°-30°)=75°,∠DOE=∠DBE+∠AEB=75°,
∵ ∠BDE=∠EDO,∠DOE=∠DEB=75°,
∴△BDE∽△EDO,
∴ ,
∴ DE2=DODB.
(3)根據(jù)題意△ABD繞點B旋轉(zhuǎn)α得到△A'BD'(A與A,D與D'是對應(yīng)點),CD'=CD,則cosα的值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】A,B兩地之間有一條6000米長的直線跑道,小月和小華分別從A,B兩地同時出發(fā)勻速跑步,相向而行,第一次相遇后,小月將自己的速度提高25%,并勻速跑步到達(dá)B點,到達(dá)后原地休息;小華勻速跑步到達(dá)A點后,立即調(diào)頭按原速返回B點(調(diào)頭時間忽略不計),兩人距各自出發(fā)點的距離之和記為y(米),跑步時間記為x(分鐘),已知y(米)與x(分鐘)之間的關(guān)系如圖所示,則小月到達(dá)B點后,再經(jīng)過_____分鐘小華回到B點.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校開展“我最喜愛的一項體育活動”調(diào)查,要求每名學(xué)生必選且只能選一項.現(xiàn)隨機(jī)抽查了部分學(xué)生,并將其結(jié)果繪制成如下不完整的條形圖和扇形圖.
抽取的學(xué)生最喜歡體育活動的條形統(tǒng)計圖
抽取的學(xué)生最喜歡體育活動的扇形統(tǒng)計圖
請結(jié)合以上信息解答下列問題:
(1)在這次調(diào)查中一共抽查了_____學(xué)生,扇形統(tǒng)計圖中“乒乓球”所對應(yīng)的圓心角為_____度,并請補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(2)己知該校共有1200名學(xué)生,請你估計該校最喜愛跑步的學(xué)生人數(shù);
(3)若在“排球、足球、跑步、乒乓球”四個活動項目任選兩項設(shè)立課外興趣小組,請用列表法或畫樹狀圖的方法求恰好選中“排球、乒乓球”這兩項活動的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙、丁四名同學(xué)進(jìn)行一次乒乓球單打比賽,要從中選兩位同學(xué)打第一場比賽.
(1)若由甲挑一名選手打第一場比賽,選中乙的概率是 ;
(2)任選兩名同學(xué)打第一場,求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校九年級獲得一個到高校體驗的名額,從前期的選拔中,小明和小剛從眾多報名者中脫穎而出:為公平起見,學(xué)校設(shè)計了如下的游戲:四張大小、質(zhì)地相同的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4.將標(biāo)有數(shù)字的一面朝下,洗勻后從中抽取一張卡片,記下上面的數(shù)字,不放畫,再從剩余的卡片中抽取一張卡片,記下上面的數(shù)字如果兩次抽取卡片上數(shù)字之和是奇數(shù),小明獲勝:如果兩次抽取卡片上數(shù)字之和是偶數(shù),小剛獲勝,獲勝的同學(xué)將代表學(xué)校參加“高校體驗”活動.請問:學(xué)校設(shè)計的這個游戲是否公平?說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中華文化源遠(yuǎn)流長,文學(xué)方面,《西游記》、《三國演義》、《水滸傳》、《紅樓夢》是我國古代長篇小說中的典型代表,被稱為“四大古典名著”某中學(xué)為了解學(xué)生對四大名著的閱讀情況,就“四大古典名著你讀完了幾部”的問題在全校學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下尚不完整的統(tǒng)計圖.
請根據(jù)以上信息,解決下列問題
(1)本次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的眾數(shù)是____部,中位數(shù)是_____部;
(2)扇形統(tǒng)計圖中“4部”所在扇形的圓心角為_____度;
(3)請將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整;
(4)沒有讀過四大古典名著的兩名學(xué)生準(zhǔn)備從中各自隨機(jī)選擇一部來閱讀,求他們恰好選中同一名著的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A、C、F在坐標(biāo)軸上,E是OA的中點,四邊形AOCB是矩形,四邊形BDEF是正方形,若點C的坐標(biāo)為(3,0),則點D的坐標(biāo)為( 。
A. (1,2.5)B. (1,1+ )C. (1,3)D. (﹣1,1+ )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為滿足市場需求,新生活超市在端午節(jié)前夕購進(jìn)價格為3元/個的某品牌粽子,根據(jù)市場預(yù)測,該品牌粽子每個售價4元時,每天能出售500個,并且售價每上漲0.1元,其銷售量將減少10個,為了維護(hù)消費(fèi)者利益,物價部門規(guī)定,該品牌粽子售價不能超過進(jìn)價的200%,請你利用所學(xué)知識幫助超市給該品牌粽子定價,使超市每天的銷售利潤為800元.
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