【題目】已知:如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線AD交BC于點D,過點D作DE⊥AD交AB于點E,以AE為直徑作⊙O.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若AC=3,BC=4,求BE的長.
【答案】
(1)證明:連接OD,如圖所示.
在Rt△ADE中,點O為AE的中心,
∴DO=AO=EO= AE,
∴點D在⊙O上,且∠DAO=∠ADO.
又∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠DAO,
∴∠ADO=∠CAD,
∴AC∥DO.
∵∠C=90°,
∴∠ODB=90°,即OD⊥BC.
又∵OD為半徑,
∴BC是⊙O的切線
(2)解:∵在Rt△ACB中,AC=3,BC=4,
∴AB=5.
設(shè)OD=r,則BO=5﹣r.
∵OD∥AC,
∴△BDO∽△BCA,
∴ = ,即 = ,
解得:r= ,
∴BE=AB﹣AE=5﹣ =
【解析】(1)連接OD,由AE為直徑、DE⊥AD可得出點D在⊙O上且∠DAO=∠ADO,根據(jù)AD平分∠CAB可得出∠CAD=∠DAO=∠ADO,由“內(nèi)錯角相等,兩直線平行”可得出AC∥DO,再結(jié)合∠C=90°即可得出∠ODB=90°,進而即可證出BC是⊙O的切線;(2)在Rt△ACB中,利用勾股定理可求出AB的長度,設(shè)OD=r,則BO=5﹣r,由OD∥AC可得出 = ,代入數(shù)據(jù)即可求出r值,再根據(jù)BE=AB﹣AE即可求出BE的長度.
【考點精析】關(guān)于本題考查的相似三角形的判定與性質(zhì),需要了解相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線交BC于點D,點O在AB上,以點O為圓心,OA為半徑的圓恰好經(jīng)過點D,分別交AC,AB于點E,F(xiàn). (Ⅰ)試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(Ⅱ)若BD=2 ,BF=2,求陰影部分的面積(結(jié)果保留π).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,有以下3句話:①AB∥CD,②∠B=∠C、③∠E=∠F、請以其中2句話為條件,第三句話為結(jié)論構(gòu)造命題.
(1)你構(gòu)造的是哪幾個命題?
(2)你構(gòu)造的命題是真命題還是假命題?請加以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點D,E在△ABC的邊BC上,連接AD,AE.有下面三個等式:①AB=AC;②AD=AE;③BD=CE.以此三個等式中的兩個作為命題的題設(shè),另一個作為命題的結(jié)論,相構(gòu)成三個命題.解答下列問題
(1)寫出這三個命題,并直接判斷其是否是真命題;
(2)請選擇一個真命題進行證明(先寫出所選命題,然后證明).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在等腰△ABC中,AC=BC,以BC為直徑的⊙O分別與AB,AC相交于點D,E,過點D作DF⊥AC,垂足為點F.
(1)求證:DF是⊙O的切線;
(2)分別延長CB,F(xiàn)D,相交于點G,∠A=60°,⊙O的半徑為6,求陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB=16,O為AB中點,點C在線段OB上(不與點O,B重合),將OC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)270°后得到扇形COD,AP,BQ分別切優(yōu)弧 于點P,Q,且點P,Q在AB異側(cè),連接OP.
(1)求證:AP=BQ;
(2)當(dāng)BQ=4 時,求 的長(結(jié)果保留π);
(3)若△APO的外心在扇形COD的內(nèi)部,求OC的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,銳角△ABC內(nèi)接于⊙O,點D在⊙O外(與點C在AB同側(cè)),∠ABD=90°,下列結(jié)論:①sinC>sinD;②cosC>cosD;③tanC>tanD,正確的結(jié)論為( )
A.①②
B.②③
C.①②③
D.①③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB,CD相交于點O,OD平分∠BOE,OF平分∠AOE
(1)判斷OF與OD的位置關(guān)系,并進行證明.
(2)若∠AOC:∠AOD=1:5,求∠EOF的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①是一塊瓷磚的圖案,用這種瓷磚來鋪設(shè)地面,如果鋪成一個2×2的正方形圖案(如圖②),其中完整的圓共有5個,如果鋪成一個3×3的正方形圖案(如圖③),其中完整的圓共有13個,如果鋪成一個4×4的正方形圖案(如圖④),其中完整的圓共有25個,若這樣鋪成一個10×10的正方形圖案,則其中完整的圓共有( )個.
A.145 B.146 C.180 D.181
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