Question

【題目】如圖，已知△ABC是等邊三角形，D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE，連接DE并延長至點(diǎn)F，使EF=AE，連接AF、BE和CF．
　　　　　　　　　　　　
（1）請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形，用符號(hào)“≌”表示，并加以證明；
（2）判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說明理由；
（3）若AB=6，BD=2DC，求四邊形ABEF的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】△BDE≌△FEC或△BCE≌△FDC或△ABE≌△ACF

（選證一）△BDE≌△FEC．

證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴BC=AC，∠ACB=60°．

∵CD=CE，

∴△EDC是等邊三角形．

∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°

∴∠BDE=∠FEC=120°．

又∵EF=AE，

∴BD=FE．

∴△BDE≌△FEC．

（選證二）△BCE≌△FDC．

證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴BC=AC，∠ACB=60°．

又∵CD=CE，

∴△EDC是等邊三角形．

∴∠BCE=∠FDC=60°，DE=CE．

∵EF=AE，

∴EF+DE=AE+CE．

∴FD=AC=BC．

∴△BCE≌△FDC．

（選證三）△ABE≌△ACF．

證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60°．

∵CD=CE，∴△EDC是等邊三角形．

∴∠AEF=∠CED=60°．

∵EF=AE，△AEF是等邊三角形．

∴AE=AF，∠EAF=60°．

∴△ABE≌△ACF．

（2）

【解答】四邊形ABDF是平行四邊形．

理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等邊三角形．

∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°．

∴AB∥DF，BD∥AF．

∴四邊形ABDF是平行四邊形．

（3）

【解答】由（2）知，四邊形ABDF是平行四邊形．

∴EF∥AB，EF≠AB．

∴四邊形ABEF是梯形．

過E作EG⊥AB于G，則EG=.

∴ S四邊形ABEF

．

【解析】（1）從圖上及已知條件容易看出△BDE≌△FEC，△BCE≌△FDC，△ABE≌△ACF．判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，所以此題的關(guān)鍵是找出相等的邊．（2）由（1）的結(jié)論容易證明AB∥DF，BD∥AF，兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．（3）EF∥AB，EF≠AB，四邊形ABEF是梯形，只要求出此梯形的面積即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解平行四邊形的判定(兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形)．