Question

【題目】如圖，在中，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且AD=3cm，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．作，與邊相交于點(diǎn)．

找出圖中的一對(duì)相似三角形，并說明理由；

當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)；

求動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的長(zhǎng)為或或；（3）cm.

【解析】

(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠B＝45°由三角形的外角性質(zhì)和已知條件證出∠ADE＝∠BEF，即可得出結(jié)論；

(2)分三種情況：①若EF＝BF，由相似三角形的性質(zhì)和勾股定理求出AE＝DE＝即可；

②若EF＝BE，由相似三角形的性質(zhì)和勾股定理求出AE即可；

③若BF＝BE，則∠FEB＝∠EFB，由△ADE∽△BEF得出AE＝AD＝3即可．

(3)由（1）得出△ADE∽△BEF，得到，得出是的二次函數(shù)，即可得出結(jié)果．

解：，理由如下：

∵在中，，，

∴，

∵，，

∴，

∴；

分三種情況

①如圖，若，則，

又∵，

∴，

∴，

∴；

②如圖，若，則

又∵，

∴，

∴，

∴；

③如圖，若，則

又∵，

∴，

∴．

綜上所述，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為或或．

設(shè)，長(zhǎng)為．

∵在中，，．

∴，，

由得：，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，有最大值，

∵從運(yùn)動(dòng)的過程中可以得出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程正好是，

∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路程為．