Question

【題目】我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”，例如圖1，圖2，圖3中，AF，BE是△ABC的中線，AF⊥BE，垂足為P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”，設(shè)BC=a，AC﹣b，AB=c．

【特例探索】

（1）如圖1，當(dāng)∠ABE=45°，c=2時(shí)，a=　 　，b=　 　；如圖2，當(dāng)∠ABE=30°，c=4時(shí)，a=　 　，b=　 　；

【歸納證明】

（2）請(qǐng)你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2，b2，c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，請(qǐng)利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式；

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖4，在ABCD中，點(diǎn)E，F，G分別是AD，BC，CD的中點(diǎn)，BE⊥EG，AD=2，AB=3．求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）a=2 ，b=2； a=2 ,b=2；（2）見解析；（3）4．

【解析】試題分析：（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得到根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，得到, 再由勾股定理得到結(jié)果；
（2）連接EF，設(shè)PF=m，PE=n則AP=2m，PB=2n，類比著（1）即可證得結(jié)論．
（3）連接AC,EF交于H,AC與BE交于點(diǎn)Q,設(shè)BE與AF的交點(diǎn)為P,由點(diǎn)E.G分別是AD，CD的中點(diǎn)，得到EG是△ACD的中位線，于是證出 由四邊形ABCD是平行四邊形，得到, ∠EAH=∠FCH根據(jù)E，F分別是AD，BC的中點(diǎn)，得到證出四邊形ABFE是平行四邊形，證得EH=FH，推出EP，AH分別是△AFE的中線，由（2）的結(jié)論得即可得到結(jié)果．

試題解析

∵AF，BE是△ABC的中線，

∴,

∴PE=PF=1，

在Rt△FPB和Rt△PEA中，

如圖2，連接EF，

同理可得：

∵

∴△PEF△ABP，

在Rt△ABP中，

在Rt△APE和Rt△BPF中，

故答案為：

(2)猜想： 三者之間的關(guān)系是：

證明：如圖3，連接EF，∵AF，BE是△ABC的中線，

∴EF是△ABC的中位線，

∴.且

設(shè)PF=m，PE=n則AP=2m，PB=2n，

在Rt△APB中, ①

在Rt△APE中, ②

在Rt△BPF中, ③

由①得： 由②+③得：

(3)如圖4,連接AC,EF交于H,AC與BE交于點(diǎn)Q,設(shè)BE與AF的交點(diǎn)為P,

∵點(diǎn)E.G分別是AD，CD的中點(diǎn)，

∴,

∵BE⊥EG，

∴BE⊥AC，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴,

∴∠EAH=∠FCH，

∵E，F分別是AD，BC的中點(diǎn)，

∵,

∴四邊形ABFE是平行四邊形，

∴EF=AB=3，AP=PF，

在△AEH和△CFH中,

∴△AEH≌△CFH，

∴EH=FH，

∴EP，AH分別是△AFE的中線，

由(2)的結(jié)論得：

∴AF=4.