Question

【題目】一個(gè)四邊形被一條對(duì)角線分割成兩個(gè)三角形，如果被分割的兩個(gè)三角形相似，我們把這條對(duì)角線稱(chēng)為該四邊形的為相似對(duì)角線。

(1)如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為AD的中點(diǎn)，AF=1，連結(jié)CE，CF，求證：EF為四邊形AECF的相似對(duì)角線。

(2)在四邊形ABCD中,∠BAD=120°,AB=3,AC=，AC平分∠BAD，且AC是四邊形ABCD的相似對(duì)角線，求BD的長(zhǎng)。

(3)如圖2,在矩形ABCD中,AB=6,BC=4,點(diǎn)E是線段AB(不取端點(diǎn)A,B)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F是射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若EF是四邊形AECF的相似對(duì)角線,求BE的長(zhǎng).(直接寫(xiě)出答案)

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）3或． （3）或3

【解析】

（1）如圖1中，只要證明△AEF∽△ECF即可解決問(wèn)題；
（2）如圖2、圖3中，AC是四邊形ABCD的相似對(duì)角線，有兩種情形：①如圖2中，△ACB≌△ACD時(shí)．②如圖3中，當(dāng)△ACD∽△ABC時(shí)，分別求解即可；
（3）分三種情形①如圖4中，當(dāng)△AEF和△CEF關(guān)于EF對(duì)稱(chēng)時(shí)，EF是四邊形AECF的相似對(duì)角線．②如圖5中，如圖取AD中點(diǎn)F，連接CF，將△CFD沿CF翻折得到△CFD′，延長(zhǎng)CD′交AB于E，易證EF是四邊形AECF的相似對(duì)角線．③如圖6中，取AB的中點(diǎn)E，連接CE，作EF⊥AD于F，延長(zhǎng)CB交FE的延長(zhǎng)線于M，則易證EF是四邊形AECF的相似對(duì)角線．此時(shí)BE=3；

（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，
∵AE=DE=2，AF=1，
∴，
∵∠A=∠D=90°，
∴△AEF∽△DCE，
∴∠AEF=∠DCE，，
∵∠DCE+∠CED=90°，
∴∠AEF+∠CED=90°，
∴∠FEC=∠A=90°，
∵，
∴，
∴△AEF∽△ECF，
∴EF為四邊形AECF的相似對(duì)角線．
（2）如圖2中，

∵AC是四邊形ABCD的相似對(duì)角線，
∴有兩種情形：
①如圖2中，△ACB≌△ACD時(shí)，∵AB=AD=3，BC=CD，
∴AC垂直平分DB，
在Rt△AOB中，∵AB=3，∠ABO=30°，
∴BO=ABcos30°=，
∴BD=2OB=3．
②如圖3中，當(dāng)△ACD∽△ABC時(shí)，可得AC2=ABAD，
∴6=3AD，
∴AD=2，
在Rt△ADH中，∵∠HAD=60°，AD=2，
∴AH=AD=1，DH=AH=，
在Rt△BDH中，BD=．

綜上所述，BD=3或．
（3）①如圖4中，當(dāng)△AEF和△CEF關(guān)于EF對(duì)稱(chēng)時(shí)，EF是四邊形AECF的相似對(duì)角線，

設(shè)AE=EC=x，
在Rt△BCE中，∵EC2=BE2+BC2，
∴x2=（6-x）2+42，解得x=，
∴此時(shí)BE=AB-AE=6-．
②如圖5中，如圖取AD中點(diǎn)F，連接CF，將△CFD沿CF翻折得到△CFD′，延長(zhǎng)CD′交AB于E，易證EF是四邊形AECF的相似對(duì)角線．

由△AEF∽△DFC得到，，
∴，
∴AE=，
∴BE=AB-AE=．
③如圖6中，取AB的中點(diǎn)E，連接CE，作EF⊥EC交AD于F，延長(zhǎng)CB交FE的延長(zhǎng)線于M，則易證EF是四邊形AECF的相似對(duì)角線．此時(shí)BE=3．

綜上所述，滿(mǎn)足條件的BE的值為或3．