Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以（1，0）為圓心的⊙P與y軸相切于原點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A（－1，0）的直線AB與⊙P相切于點(diǎn)B．

（1）求AB的長(zhǎng)．

（2）求AB、OA與所圍成的陰影部分面積．

（3）求直線AB的解析式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

1）連接PB，由于A、P的坐標(biāo)已知，因此求出OA、AP的長(zhǎng)度，根據(jù)直線AB與⊙P相切于點(diǎn)B，⊙P與y軸相切于原點(diǎn)O，利用勾股定理定理可以求出AB的長(zhǎng)度；
（2）連接OB，利用（1）的結(jié)果可以得到∠OPB=60°，根據(jù)即可求出陰影部分面積；
（3）設(shè)直線AB與y軸相交于點(diǎn)C，根據(jù)已知條件可以得到∠BAP=30°，而OA=1，因此可以求出CO的長(zhǎng)度，即求出了C的坐標(biāo)，而A的坐標(biāo)已知，再利用待定系數(shù)法即可求出AB的解析式；

解：（1）連接PB
∵點(diǎn)A、P的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（1，0），
∴OA=OP=1，
∴PA=2．
∵直線AB與⊙P相切于點(diǎn)B，
∴PB⊥AB，
∴∠ABP=90°
又∵⊙P與y軸相切于原點(diǎn)O，
∴PB=OP=1，
∴；

（2）連接OB
∵∠ABP=90°，OA=OP，
∴，
又∵PB=OP，
∴PB=OP=OB，
∴∠OPB=60°，
∴；

（3）如圖示，設(shè)直線AB與y軸相交于點(diǎn)C
∵∠OPB=60°，∠ABP=90°，
∴∠BAP=180°-60°-90°=30°，
∴在Rt△OAC中，，

設(shè)OC=x，則AC=2x，
依題意得（2x）2=x2+12，
解得

∵x＞0，
∴；
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，），

可設(shè)直線AB的解析式為（k≠0），
∵直線AB過(guò)點(diǎn)A（-1，0），
∴，

∴，

∴直線AB的解析式為．