Question

【題目】如圖，已知AB是半圓O的直徑，AB＝6，點C在半圓O上．過點A作AD⊥OC，垂足為點D，AD的延長線與弦BC交于點E，與半圓O交于點F（點F不與點B重合）．

（1）當點F為的中點時，求弦BC的長；

（2）設OD＝x，＝y，求y與x的函數(shù)關系式；

（3）當△AOD與△CDE相似時，求線段OD的長．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）y＝；（3）

【解析】

（1）連結OF，交BC于點H．得出∠BOF＝∠COF．則∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，可求出BH，BC的長；

（2）連結BF．證得OD∥BF，則，即，得出，則得出結論；

（3）分兩種情況：①當∠DCE＝∠DOA時，AB∥CB，不符合題意，舍去，②當∠DCE＝∠DAO時，連結OF，證得∠OAF＝30°，得出OD＝，則答案得出．

解：（1）如圖1，連結OF，交BC于點H．

∵F是中點，

∴OF⊥BC，BC＝2BH．

∴∠BOF＝∠COF．

∵OA＝OF，OC⊥AF，

∴∠AOC＝∠COF，

∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，

在Rt△BOH中，sin∠BOH＝，

∵AB＝6，

∴OB＝3，

∴BH＝，

∴BC＝2BH＝3；

（2）如圖2，連結BF．

∵AF⊥OC，垂足為點D，

∴AD＝DF．

又∵OA＝OB，

∴OD∥BF，BF＝2OD＝2x．

∴，

∴，

即，

∴，

∴y＝．

（3）△AOD和△CDE相似，分兩種情況：①當∠DCE＝∠DOA時，AB∥CB，不符合題意，舍去．

②當∠DCE＝∠DAO時，連結OF．

∵OA＝OF，OB＝OC，

∴∠OAF＝∠OFA，∠OCB＝∠OBC．

∵∠DCE＝∠DAO，

∴∠OAF＝∠OFA＝∠OCB＝∠OBC．

∵∠AOD＝∠OCB+∠OBC＝2∠OAF，

∴∠OAF＝30°，

∴OD＝．

即線段OD的長為．