Question

【題目】已知三角形ABC，AD為BC邊中線(xiàn)，P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作AD的平行線(xiàn)，交直線(xiàn)AB或延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q，交CA或延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)R．

（1）當(dāng)點(diǎn)P在BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作BC的平行線(xiàn)交AD于E點(diǎn)，交AC于F點(diǎn)，求證：QE＝EF；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：PQ+PR為定值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)平行線(xiàn)QF∥BC，可以推知△AQE∽△ABD，△AEF∽△ADC；然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可求得；再根據(jù)已知條件“AD為BC邊中線(xiàn)”來(lái)證明QE=EF；
（2）分類(lèi)討論：
①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B（或點(diǎn)C）重合時(shí)，AD為△B（P）RC（或△C（P）BQ）的中位線(xiàn)，PQ+PR=2AD；
②當(dāng)點(diǎn)P在BD上（不與點(diǎn)B重合）運(yùn)動(dòng)時(shí)，由（1）證明可知，AE為△RQF的中位線(xiàn)，PQ+PR=2AD；
③當(dāng)點(diǎn)P在CD上（不與點(diǎn)C重合）運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ+PR=2AD．

（1）證明：∵QF∥BC，

∴△AQE∽△ABD，△AEF∽△ADC．

∴，

∵BD＝DC，

∴QE＝EF．

（2）解：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B（或點(diǎn)C）重合時(shí)，AD為△B（P）RC（或△C（P）BQ）的中位線(xiàn)，

∴PQ+PR＝2AD．

當(dāng)點(diǎn)P在BD上（不與點(diǎn)B重合）運(yùn)動(dòng)時(shí)，由（1）證明可知，AE為△RQF的中位線(xiàn)，

∴RQ＝2AE．

∵QF∥BC，PQ∥AD，

∴四邊形PQED為平行四邊形．

∴PQ＝DE，

∴PQ+PR＝2DE+QR＝2DE+2AE＝2AD．

同理可證，當(dāng)點(diǎn)P在CD上（不與點(diǎn)C重合）運(yùn)動(dòng)時(shí)，

PQ+PR＝2AD．

∴P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ+PR為定值，

即PQ+PR＝2AD．