【題目】已知A(m,n),且滿足m-2+(n-2)2=0,過A作AB⊥y軸,垂足為B.
(1)求A點坐標(biāo);
(2)如圖1,分別以AB,AO為邊作等邊△ABC和△AOD,試判定線段AC和DC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并說明理由;
(3)如圖2,過A作AE⊥x軸,垂足為E,點F、G分別為線段OE、AE上的兩個動點 (不與端點重合),滿足∠FBG=45°,設(shè)OF=a,AG=b,FG=c,試探究的值是 否為定值?如果是,直接寫出此定值:如果不是,請舉例說明.
【答案】(1)A(2,2);(2)AC=CD,AC⊥CD,理由見解析;(3)定值為0,
【解析】試題分析:(1)根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可得m、n的值;
(2)連接OC,由AB=BO知∠BAO=∠BOA=45°,由△ABC,△OAD為等邊三角形知∠BAC=∠OAD=∠AOD=60°、OA=OD,繼而由∠BAC-∠OAC=∠OAD-∠OAC得∠DAC=∠BAO=45°,根據(jù)OB=CB=2、∠OBC=30°知∠BOC=75°,∠AOC=∠BAO-∠BOA=30°,∠DOC=∠AOC=30°,證△OAC≌△ODC得AC=CD,再根據(jù)∠CAD=∠CDA=45°知∠ACD=90°,從而得AC⊥CD;
(3)在x軸負半軸取點M,使得OM=AG=b,連接BG,先證△BAG≌△BOM得∠OBM=∠ABG、BM=BG,結(jié)合∠FBG=45°知∠ABG+∠OBF=45°,從而得∠OBM+∠OBF=45°,∠MBF=∠GBF,再證△MBF≌△GBF得MF=FG,即a+b=c,代入原式可得答案.
試題解析:(1)由題得m=2,n=2,
∴A(2,2);
(2)如圖1,連結(jié)OC,
由(1)得AB=BO=2,
∴△ABO為等腰直角三角形,
∴∠BAO=∠BOA=45°,
∵△ABC,△OAD為等邊三角形,
∴∠BAC=∠OAD=∠AOD=60°,OA=OD
∴∠BAC-∠OAC=∠OAD-∠OAC
即∠DAC=∠BAO=45°
在△OBC中,OB=CB=2,∠OBC=30°,
∴∠BOC=75°,
∴∠AOC=∠BAO-∠BOA=30°,
∴∠DOC=∠AOC=30°,
在△OAC和△ODC中,
∵,
∴△OAC≌△ODC,
∴AC=CD,
∴∠CAD=∠CDA=45°,
∴∠ACD=90°,
∴AC⊥CD;
(3)如圖,在x軸負半軸取點M,使得OM=AG=b,連接BG,
在△BAG和△BOM中,
∵,
∴△BAG≌△BOM
∴∠OBM=∠ABG,BM=BG
又∠FBG=45°
∴∠ABG+∠OBF=45°
∴∠OBM+∠OBF=45°
∴∠MBF=∠GBF
在△MBF和△GBF中,
∵,
∴△MBF≌△GBF
∴MF=FG
∴a+b=c代入原式=0.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,點D在邊AB上,連接CD,將△BCD沿CD翻折得到△ECD,使DE∥AC,CE交AB于點F,若∠B=α,則∠ADC的度數(shù)是 (用含α的代數(shù)式表示).
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【題目】閱讀下列材料:
點A、B在數(shù)軸上分別表示兩個數(shù)a、b,A、B兩點間的距離記為|AB|,O表示原點.當(dāng)A、B兩點中有一點在原點時,不妨設(shè)點A為原點,如圖1,則|AB|=|OB|=|b|=|a-b|;當(dāng)A、B兩點都不在原點時,
①如圖2,若點A、B都在原點的右邊時,|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|;
②如圖3,若點A、B都在原點的左邊時,|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-(-a)=|a-b|;
③如圖4,若點A、B在原點的兩邊時,|AB|=|OB|+|OA|=|b|+|a|=-b+a=|a-b|.
回答下列問題:
(1)綜上所述,數(shù)軸上A、B兩點間的距離為|AB|=______.
(2)若數(shù)軸上的點A表示的數(shù)為3,點B表示的數(shù)為-4,則A、B兩點間的距離為______;
(3)若數(shù)軸上的點A表示的數(shù)為x,點B表示的數(shù)為-2,則|AB|=______,若|AB|=3,則x的值為______.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的頂點P是BC中點,PE,PF分別交AB,AC于點E,F(xiàn),給出下列四個結(jié)論:①△APE≌△CPF;②AE=CF;③△EAF是等腰直角三角形;④S△ABC=2S四邊形AEPF,上述結(jié)論正確的有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】如圖1,在△ABC中,AB=AC,點D是BC的中點,點E在AD上.
(1)求證:BE=CE;
(2)如圖2,若BE的延長線交AC于點F,且BF⊥AC,垂足為F,∠BAC=45°,原題設(shè)其它條件不變.求證:△AEF≌△BCF.
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【題目】如圖,直線a、b、c表示三條公路,現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有_______處.
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【題目】一個多邊形的每一個內(nèi)角都相等,并且每個外角都等于和它相鄰的內(nèi)角的一半.
(1)求這個多邊形是幾邊形;
(2)求這個多邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù).
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【題目】如圖,∠AOB=30°,∠AOB內(nèi)有一定點P,且OP=12,在OA上有一點Q,OB上有一點R,若△PQR周長最小,則最小周長是_____
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【題目】如圖,拋物線y=﹣ x2+bx+c與y軸交于點C,與x軸交于A、B兩點(點A在原點左側(cè),點B在原點右側(cè)),且∠ACB=90°,tan∠BAC= . ①求拋物線的解析式;
②若拋物線頂點為P,求四邊形APCB的面積.
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