Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長為23，以A為圓心作

EF

，交AB于F，交AD于E，圓O與

EF

切于G，并且與BC、CD都相切，若以扇形AEF為側面，圓O為底面作一個圓錐，求這個圓錐的母線長和表面積．

Answer 1

考點：相切兩圓的性質,圓錐的計算

專題：

分析：設圓錐模型的底面半徑是r，扇形鐵皮的半徑是R，得出2πr=

1

4

•2πR，求出R=4r．連接OQ、ON，得出正方形OQCN，得出OQ=CQ，根據(jù)勾股定理求出AC，CO，即可得出

2

r+r+R=23

2

，求出r，進而得出圓錐的全面積．

解答：解：設圓錐模型的底面半徑是r，扇形鐵皮的半徑是R，
由題意知：∠DCB=90°，2πr=

1

4

•2πR，
解得：R=4r，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DCB=90°=∠D，DC=AD=23，
由勾股定理得：AC=

232+232

=23

2

，
∵根據(jù)相切兩圓的性質和切線性質得：AO=R+r，∠OQC=∠ONC=90°=∠DCB，OQ=ON，
∴四邊形QCNO是正方形，
∴CQ=OQ=r，
由勾股定理得：CO=

r2+r2

=

2

r，
∵AC=AO+OC，
∴

2

r+r+R=23

2

，
∴r=

23 2

2 +5

=5

2

-2，
∴R=20

2

-8，
即這個圓錐的母線長是20

2

-8，
∴圓錐的表面積為：πr²+πRr=π×（5

2

-2）²+π（20

2

-8）（5

2

-2）=220π-100

2

π．

點評：本題考查的知識點有相切兩圓的性質、圓的切線性質、正方形的性質和判定、勾股定理等，主要考查學生運用定理進行計算和推理的能力，題目比較典型，是一道比較好的題目．