Question

【題目】如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=8，點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點C落在AD上的一點H處，點D落在點G處，有以下四個結(jié)論：
①四邊形CFHE是菱形；
②EC平分∠DCH；
③線段BF的取值范圍為3≤BF≤4；
④當(dāng)點H與點A重合時，EF=2 ．
以上結(jié)論中，你認(rèn)為正確的有 ． （填序號）

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：∵FH與CG，EH與CF都是矩形ABCD的對邊AD、BC的一部分，

∴FH∥CG，EH∥CF，

∴四邊形CFHE是平行四邊形，

由翻折的性質(zhì)得，CF=FH，

∴四邊形CFHE是菱形，（故①正確）；

∴∠BCH=∠ECH，

∴只有∠DCE=30°時EC平分∠DCH，（故②錯誤）；

點H與點A重合時，設(shè)BF=x，則AF=FC=8﹣x，

在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，

即42+x2=（8﹣x）2，

解得x=3，

點G與點D重合時，CF=CD=4，

∴BF=4，

∴線段BF的取值范圍為3≤BF≤4，（故③正確）；

過點F作FM⊥AD于M，

則ME=（8﹣3）﹣3=2，

由勾股定理得，

EF= = =2 ，（故④正確）；

綜上所述，結(jié)論正確的有①③④共3個，

故答案為①③④．

①先判斷出四邊形CFHE是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得CF=FH，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明，判斷出①正確；
②根據(jù)菱形的對角線平分一組對角線可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°時EC平分∠DCH，判斷出②錯誤；
③點H與點A重合時，設(shè)BF=x，表示出AF=FC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，點G與點D重合時，CF=CD，求出BF=4，然后寫出BF的取值范圍，判斷出③正確；
④過點F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判斷出④正確。