Question

【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,以AB為直徑的⊙O分別交邊AD和對角線BD于點E、F,連接EF并延長交邊BC于點G,連接BE。

(1)求證:AE=DE;

(2)若⊙O的半徑為2,求EG的長

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）4.

【解析】

（1）先證明△ABD為等邊三角形，再根據AB為直徑得到BE⊥AD，利用三線合一即可求解；

（2）證明四邊形ABGE為平行四邊形，得到EG=AB即可求解.

（1）∵四邊形ABCD為菱形，

∴AD=AB，

∵∠BAD=60°

∴△ABD為等邊三角形，

∴AB=BD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∴BE⊥AD，

∴AE=DE；

（2）∵四邊形ABFE是圓內接四邊形，

∴∠FBA+∠FEA=180°，

∵△ABD為等邊三角形，

∴∠FBA=∠BAE=60°，

∴∠BAE+∠FEA=180°，

∴AB∥EG，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AD∥BC，

∴四邊形ABGE為平行四邊形

∴EG=AB=2r=4.