【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+2x+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,3),與x軸分別交于點(diǎn)A,點(diǎn)B(3,0).點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)y=ax2+2x+c的表達(dá)式;
(2)連接PO,PC,并把△POC沿y軸翻折,得到四邊形POP′C.若四邊形POP′C為菱形,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形ACPB的面積最大?求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ACPB的最大面積.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3(2)(,)(3)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)時(shí),四邊形ACPB的最大面積值為
【解析】
(1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;
(2)根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直且平分,可得P點(diǎn)的縱坐標(biāo),根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可得P點(diǎn)坐標(biāo);
(3)根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo),可得PQ的長(zhǎng),根據(jù)面積的和差,可得二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得答案.
(1)將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得
解得
二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+2x+3;
(2)若四邊形POP′C為菱形,則點(diǎn)P在線段CO的垂直平分線上,
如圖1,連接PP′,則PE⊥CO,垂足為E,
∵C(0,3),
∴
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo),
當(dāng)時(shí),即
解得(不合題意,舍),
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為
(3)如圖2,
P在拋物線上,設(shè)P(m,﹣m2+2m+3),
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,
將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得
解得
直線BC的解析為y=﹣x+3,
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,﹣m+3),
PQ=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m.
當(dāng)y=0時(shí),﹣x2+2x+3=0,
解得x1=﹣1,x2=3,
OA=1,
S四邊形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ
當(dāng)m=時(shí),四邊形ABPC的面積最大.
當(dāng)m=時(shí),,即P點(diǎn)的坐標(biāo)為
當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí),四邊形ACPB的最大面積值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系.
(1)如圖1,若,點(diǎn)在、內(nèi)部, , ,求的度數(shù).
(2)如圖2,在AB∥CD的前提下,將點(diǎn)移到、外部,則、、之間有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論.
(3)如圖3,寫(xiě)出、、、之間的數(shù)量關(guān)系?(不需證明)
(4)如圖4,求出的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,已知,點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)C在y軸上,P是對(duì)角線OB上一動(dòng)點(diǎn)(不與原點(diǎn)重合),連接PC,過(guò)點(diǎn)P作,交x軸于點(diǎn)D.下列結(jié)論:①;②當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到OA的中點(diǎn)處時(shí),;③在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是一個(gè)定值;④當(dāng)△ODP為等腰三角形時(shí),點(diǎn)D的坐標(biāo)為.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)專著,在數(shù)學(xué)上有其獨(dú)到的成就,不僅最早提到了分?jǐn)?shù)問(wèn)題,也首先記錄了“盈不足”等問(wèn)題.如有一道闡述“盈不足”的問(wèn)題,原文如下:今有共買(mǎi)雞,人出九,盈十一;人出六,不足十六.問(wèn)人數(shù)、雞價(jià)各幾何?譯文為:現(xiàn)有若干人合伙出錢(qián)買(mǎi)雞,如果每人出9文錢(qián),就會(huì)多11文錢(qián);如果每人出6文錢(qián),又會(huì)缺16文錢(qián).問(wèn)買(mǎi)雞的人數(shù)、雞的價(jià)格各是多少?請(qǐng)解答上述問(wèn)題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=x+4的圖象與反比例函數(shù)y=(k為常數(shù)且k≠0)的圖象交于A(﹣1,a),B兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)C.
(1)求此反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)P在x軸上,且S△ACP=S△BOC,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】八(1)班數(shù)學(xué)老師將本班某次參加的數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)(得分取整數(shù),滿分100分)進(jìn)行整理統(tǒng)計(jì)后,制成如下的頻數(shù)直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)在分?jǐn)?shù)段70.5~80.5分的頻數(shù)、頻率分別是多少?
(2)m、n、的值分別是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線(>0)與軸交于A,B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)的左邊),與軸交于點(diǎn)C。
(1)如圖1,若△ABC為直角三角形,求的值;
(2)如圖1,在(1)的條件下,點(diǎn)P在拋物線上,點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上,若以BC為邊,以點(diǎn)B,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)A作直線BC的平行線交拋物線于另一點(diǎn)D,交軸交于點(diǎn)E,若AE:ED=1:4,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊,現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃,那么最省事的辦法是( )
A.帶①去B.帶②去C.帶③去D.帶①和②去
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)的圖象如圖,給出下列四個(gè)結(jié)論:①;②;③,④;其中正確結(jié)論是( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④
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