Question

如圖，在等邊三角形△ABC中，AQ=PQ，PR⊥AB于點R，PS⊥AC于點S，且PR=PS，下面給出的四個結(jié)論：

①點P在∠A的平分線上，②AS=AR，③QP∥AR，④△BRP≌△QSP，

則其中正確的是

1. A.
   全部正確
2. B.
   僅①和②正確
3. C.
   僅②和③正確
4. D.
   僅①和③正確

Answer 1

A
分析：根據(jù)角平分線性質(zhì)即可推出①，根據(jù)勾股定理即可推出AR=AS，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根據(jù)平行線判定推出QP∥AB即可；求出PQ=CP=BP，根據(jù)AAS推出△BRP≌△QSP即可．
解答：∵PR⊥AB于點R，PS⊥AC，PR=PS，
∴點P在∠A的平分線上，∴①正確；
∴∠QAP=∠BAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR²=AP²-PR²，AS²=AP²-PS²，
∵AP=AP，PR=PS，
∴AR=AS，∴②正確；
∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，∴③正確；
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠CAB=60°，AB=AC，
∵∠QAP=∠BAP，
∴BP=CP，
∵QP∥AB，
∴∠QPC=∠B=60°=∠C，
∴PQ=CQ，
∴△PQC是等邊三角形，
∴PQ=CP=BP，∠SQP=60°=∠B，
∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠BRP=∠PSQ=90°，
在△BRP和△QSP中

∴△BRP≌△QSP，∴④正確；
故選A．
點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．