Question

【題目】某公司生產(chǎn)的某種時(shí)令商品每件成本為20元，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40天內(nèi)的日銷售量m（件）與時(shí)間t（天）的關(guān)系滿足：m=﹣2t+96．且未來40天內(nèi)，前20天每天的價(jià)格y1（元/件）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系式為y1=t+25（1≤t≤20且t為整數(shù)），后20天每天的價(jià)格y2（元/件）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系式為y2=﹣t+40（21≤t＜40且t為整數(shù)）．下面我們就來研究銷售這種商品的有關(guān)問題

（1）請(qǐng)分別寫出未來40天內(nèi)，前20天和后20天的日銷售利潤(rùn)w（元）與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；

（2）請(qǐng)預(yù)測(cè)未來40天中哪一天的日銷售利潤(rùn)最大，最大日銷售利潤(rùn)是多少？

（3）在實(shí)際銷售的前20天中，該公司決定每銷售一件商品就捐贈(zèng)a元利潤(rùn)（a＜4）給希望工程．公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前20天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)隨時(shí)間t（天）的增大而增大，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）w=；（2）第19天日銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為841元；（3）0.5≤a＜4．

【解析】

（1）根據(jù)利潤(rùn)（w）=日銷售量（m） 價(jià)格差（-20）分別計(jì)算即可得出前20天和后20天的日銷售利潤(rùn)w（元）與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出（1）中的兩個(gè)二次函數(shù)的最大值進(jìn)行比較即可；（3）根據(jù)題意得出扣除捐贈(zèng)后的利（w）與時(shí)間（t）的解析式，找出對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可，

（1）當(dāng)1≤t≤20且t為整數(shù)時(shí)，

w=（t+25﹣20）（﹣2t+96）

=﹣t2+38t+480；

當(dāng)21≤t＜40且t為整數(shù)時(shí)，

w=（﹣t+40﹣20）（﹣2t+96）

=t2﹣88t+1920，

綜上w=．

（2）當(dāng)1≤t≤20且t為整數(shù)時(shí)，w=﹣t2+38t+480=﹣（t﹣19）2+841，

此時(shí)當(dāng)t=19時(shí)，w取得最大值841；

當(dāng)21≤t＜40且t為整數(shù)時(shí)，w=t2﹣88t+1920=（t﹣44）2﹣16，

∵t＜44時(shí)，w隨t的增大而減小，

∴當(dāng)t=21時(shí)，w取得最大值，最大值為513；

綜上，第19天日銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為841元．

（3）根據(jù)題意知，扣除捐款后的利潤(rùn)w=﹣t2+38t+480﹣（﹣2t+96）a

=﹣t2+（38+2a）t+480﹣96a

∴﹣1＜0，且對(duì)稱軸t=19+a，

因?yàn)?/span>t為整數(shù)，所以函數(shù)圖象是為20個(gè)分布在拋物線上的散點(diǎn)，要使日銷售利潤(rùn)隨時(shí)間t增大而增大，

則要求對(duì)稱軸19+a≥19.5，

解得a≥0.5，

又a＜4，

則0.5≤a＜4．