Question

【題目】綜合與探究

如圖，已知拋物線y＝ax2﹣3x+c與y軸交于點(diǎn)A（0，﹣4），與x軸交于點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)P是線段AB下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）求這條拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到拋物線的什么位置時(shí)，∠PAB＝90°求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB下方的拋物線向終點(diǎn)B移動(dòng)，在移動(dòng)中，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△PAB的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并求t為何值時(shí)S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣3x﹣4，（2）（2，﹣6）；（3）當(dāng)t＝2時(shí)，S取得最大值，最大值為8．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，再利用配方法即可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥OA于點(diǎn)Q，由OA＝OB結(jié)合∠PAB＝90°可得出∠PAQ＝45°，進(jìn)而可得出AQ＝PQ，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m2﹣3m﹣4），由點(diǎn)A的坐標(biāo)結(jié)合AQ＝PQ可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，由點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t可得出點(diǎn)P，M的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出PM的長(zhǎng)，由S△PAB＝S梯形OAPM+S△PBM﹣S△AOB可得出S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題．

（1）將A（0，﹣4），B（4，0）代入y＝ax2﹣3x+c，得：

，解得：，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣3x﹣4．

∵，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．

（2）過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥OA于點(diǎn)Q，如圖1所示．

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝45°．

又∵∠PAB＝90°，

∴∠PAQ＝45°，

∴AQ＝PQ．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m2﹣3m﹣4），

∴m＝﹣4﹣（m2﹣3m﹣4），

解得：m1＝0（舍去），m2＝2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣6）．

（3）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b（k≠0），

將A（0，﹣4），B（4，0）代入y＝kx+b，得：

，解得：，

∴直線AB的解析式為y＝x﹣4．

過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，如圖2所示．

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t2﹣3t﹣4），

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，0），

∴PM＝﹣t2+3t+4

∴S△PAB＝S梯形OAPM+S△PBM﹣S△AOB，

＝（OA+PM）OM+PMBM﹣OAOB，

＝ [4+（﹣t2+3t+4）]t+（﹣t2+3t+4）（4﹣t）﹣×4×4，

＝﹣2t2+8t，

即S＝﹣2t2+8t（0≤t≤4）．

S＝﹣2t2+8t＝﹣2（t﹣2）2+8，

∵﹣2＜0，

∴當(dāng)t＝2時(shí)，S取得最大值，最大值為8．