14.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,B分別是y軸正半軸,x軸正半軸上兩動(dòng)點(diǎn),OA=2k,OB=2k+3,以AO,BO為鄰邊構(gòu)造矩形AOBC,拋物線y=-$\frac{3}{4}$x2+3x+k交y軸于點(diǎn)D,P為頂點(diǎn),PM⊥x軸于點(diǎn)M.
(1)求OD,PM的長(zhǎng)(結(jié)果均用含k的代數(shù)式表示).
(2)當(dāng)PM=BM時(shí),求該拋物線的表達(dá)式.
(3)在點(diǎn)A在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中.
①若存在△ADP是等腰三角形,請(qǐng)求出所有滿足條件的k的值.
②當(dāng)點(diǎn)A關(guān)于直線DP的對(duì)稱點(diǎn)A′恰好落在拋物線y=-$\frac{3}{4}$x2+3x+k的圖象上時(shí),請(qǐng)直接寫出k的值.

分析 (1)點(diǎn)D在y=-$\frac{3}{4}$x2+3x+k上,且在y軸上,即y=0求出點(diǎn)D坐標(biāo),根據(jù)拋物線頂點(diǎn)公式,求出即可;
(2)先用k表示出相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)PM=BM建立方程即可;
(3)①先用k表示出相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)△ADP是等腰三角形,分三種情況,AD=AP,DA=DP,PA=PD計(jì)算;
②由點(diǎn)P,D坐標(biāo)求出直線PD解析式,根據(jù)PD⊥AA′,且A(0,2k),確定出AA′解析式,繼而求出交點(diǎn),再求出A′的坐標(biāo)即可.

解答 解:(1)把x=0,代入$y=-\frac{3}{4}{x^2}+3x+k$,
∴y=k.
∴OD=k.
∵$\frac{{4ac-{b^2}}}{4a}=\frac{{4×(-\frac{3}{4})×k-{3^2}}}{{4×(-\frac{3}{4})}}=k+3$,
∴PM=k+3. 
(2)∵$-\frac{2a}=-\frac{3}{{2×(-\frac{3}{4})}}=2$,
∴OM=2,BM=OB-OM=2k+3-2=2k+1.
又∵PM=k+3,PM=BM,
∴k+3=2k+1,
解得k=2.
∴該拋物線的表達(dá)式為$y=-\frac{3}{4}{x^2}+3x+2$.                      
(3)①
Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)P在矩形AOBC外部時(shí)
如圖1,

過(guò)P作PK⊥OA于點(diǎn)K,當(dāng)AD=AP時(shí),
∵AD=AO-DO=2k-k=k,
∴AD=AP=k,KA=KO-AO=PM-AO=k+3-2k=3-k
KP=OM=2,在Rt△KAP中,KA2+KP2=AP2
∴(3-k)2+22=k2,解得$k=\frac{13}{6}$.
Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)P在矩形AOBC內(nèi)部時(shí)
當(dāng)PD=AP時(shí),過(guò)P作PH⊥OA于H,
AD=k,HD=$\frac{k}{2}$,$HO=DO+HD=\frac{3k}{2}$
又∵HO=PM=k+3,
∴$\frac{3k}{2}=k+3$,
解得k=6.
當(dāng)DP=DA時(shí),過(guò)D作PQ⊥PM于Q,
PQ=PM-QM=PM-OD=k+3-k=3
DQ=OM=2,DP=DA=k,
在Rt△DQP中,$DP=\sqrt{D{Q^2}+Q{P^2}}=\sqrt{{2^2}+{3^2}}=\sqrt{13}$.
∴$k=DP=\sqrt{13}$.       
即:$k=\frac{13}{6}$,k=6,k=$\sqrt{13}$.
②∵P(2,k+3),D(0,k)
∴直線PD解析式為y=$\frac{3}{2}$x+k,
∵A(0,2k),
∴直線AA′的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+2k,
∴直線PD和直線AA′的交點(diǎn)為($\frac{6}{13}$k,$\frac{22}{13}$k),
∴A′($\frac{12}{13}$k,$\frac{18}{13}$k),
∵A′在拋物線y=-$\frac{3}{4}$x2+3x+k上,
∴-$\frac{3}{4}$×($\frac{12}{13}$k)2+3×$\frac{12}{13}$k+k=$\frac{18}{13}$k,
∴k=$\frac{403}{108}$或k=0(舍)

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題,主要考查了二次函數(shù)解析式的確定,平面坐標(biāo)系中求線段的長(zhǎng),等腰三角形的性質(zhì),確定出函數(shù)解析式是解本題的關(guān)鍵,解(3)是本題的難點(diǎn).

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