Question

【題目】（問題發(fā)現(xiàn)）

如圖1，D是△ABC邊AB延長線上一點(diǎn)，求證:∠A+∠C=∠CBD.

小白同學(xué)的想法是，過點(diǎn)B作 BE∥AC，從而將∠A和∠C轉(zhuǎn)移到∠CBD處，使這三個(gè)角有公共頂點(diǎn)B，請你按照小白的想法，完成解答；

（問題解決）

在上述問題的前提，,如圖3，從點(diǎn)B引一條射線與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)F，且∠CBF=∠D

BF，探究∠A與∠F的數(shù)量關(guān)系。在小白想法的提示下，小黑同學(xué)也想通過作平行線將∠A或∠F的位置進(jìn)行轉(zhuǎn)移，使兩角有公共頂點(diǎn),，請你根據(jù)小黑的想法或者學(xué)過的知識解決此問題。

Answer 1

【答案】問題發(fā)現(xiàn):見解析. 問題解決:∠A與∠F的數(shù)量關(guān)系是∠F＝∠A,見解析。

【解析】

先根據(jù)兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等.得∠CBE=∠C，∠DBE=∠A再根據(jù)∠CBD=∠CBE+∠DBE即可得出結(jié)論．

根據(jù)角平分線及外角定理可得∠5=（∠A+2∠1）再化簡即可得∠F＝∠A.

解：問題發(fā)現(xiàn):

∵BE∥AC，
∴∠CBE=∠C，∠DBE=∠A．

∴∠CBD=∠CBE+∠DBE=∠A+∠C．
問題解決:

如圖：延長CB至G，

∵∠CBF=∠DBF，∠CBA=∠DBG

∠5=∠GBF

∵CF為∠ACB的內(nèi)角平分線，

∴∠1=∠2，

∵∠GBA=∠ACB+∠A

∴∠5=（∠A+2∠1），

∵∠3=∠4，∠A=180°-∠1-∠3

∴∠F=180°-∠4-∠5=180°-∠3-（∠A+2∠1）＝180°-∠3-∠1∠A
即∠F=∠A∠A＝∠A．

所以，∠A與∠F的數(shù)量關(guān)系是∠F＝∠A．